Contoh Soal dan Pembahasan Operasi pada Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah perluasan dari konsep bilangan real yang mencakup bilangan imajiner. Bentuk umum bilangan kompleks adalah a + bi, di mana a dan b adalah bilangan real, sementara i adalah satuan imajiner yang memiliki sifat i² = -1. Operasi pada bilangan kompleks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan untuk berbagai operasi pada bilangan kompleks.
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Contoh Soal 1
Tambahkan bilangan kompleks berikut: (3 + 4i) dan (1 + 2i).
Pembahasan:
Penjumlahan bilangan kompleks dilakukan dengan menjumlahkan bagian real dan bagian imajinernya secara terpisah.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
Jadi, hasil penjumlahan dari (3 + 4i) dan (1 + 2i) adalah 4 + 6i.
Contoh Soal 2
Kurangkan bilangan kompleks (2 + 5i) dari (6 + 3i).
Pembahasan:
Pengurangan bilangan kompleks dilakukan dengan mengurangkan bagian real dan bagian imajinernya secara terpisah.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
Jadi, hasil pengurangan (2 + 5i) dari (6 + 3i) adalah 4 – 2i.
Perkalian Bilangan Kompleks
Contoh Soal 3
Kalikan bilangan kompleks berikut: (2 + 3i) dan (4 + i).
Pembahasan:
Perkalian bilangan kompleks dilakukan dengan menggunakan distribusi atau pengaturan formal, mirip dengan mengalikan dua binomial dalam aljabar biasa.
\[
(2 + 3i) \cdot (4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i
\]
Lalu kita hitung secara terperinci:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
Karena \( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
Jadi, hasil perkalian (2 + 3i) dan (4 + i) adalah 5 + 14i.
Pembagian Bilangan Kompleks
Contoh Soal 4
Bagilah bilangan kompleks berikut: (5 + 6i) dengan (2 + i).
Pembahasan:
Pembagian bilangan kompleks menggunakan konjugat dari penyebut. Konjugat dari \(2 + i\) adalah \(2 – i\).
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
Sekarang kita hitung pembilang dan penyebut terpisah:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Perkalian penyebut:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Perkalian pembilang:
\[
(5 + 6i) \cdot (2 – i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
Jadi, pembagiannya adalah:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
Jadi hasil pembagian (5 + 6i) dengan (2 + i) adalah 3.2 + 1.4i.
Pembahasan Ekstra: Modulus dan Konjugat Bilangan Kompleks
Contoh Soal 5
Temukan modulus dan konjugat dari bilangan kompleks \(z = 3 + 4i\).
Pembahasan:
Modulus dari bilangan kompleks \(z = a + bi\) adalah:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Untuk \(z = 3 + 4i\):
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Konjugat dari bilangan kompleks \(z = a + bi\) adalah \(z^ = a – bi\).
Untuk \(z = 3 + 4i\):
\[
z^ = 3 – 4i
\]
Jadi modulus dari \(3 + 4i\) adalah 5, dan konjugatnya adalah \(3 – 4i\).
Kesimpulan
Bilangan kompleks memainkan peran penting dalam berbagai bidang matematika dan aplikasi teknis. Memahami operasi dasar pada bilangan kompleks, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, adalah kunci untuk memanfaatkan konsep ini dalam pemecahan masalah yang lebih kompleks. Latihan dalam menyelesaikan berbagai tipe soal seperti yang dijelaskan di atas akan membantu memperkuat pemahaman dan keterampilan Anda dalam beroperasi dengan bilangan kompleks.
