Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Rantai pada Turunan
Aturan rantai adalah salah satu konsep paling fundamental dalam kalkulus diferensial yang digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang merupakan komposisi dari dua atau lebih fungsi. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar aturan rantai, cara menggunakannya, dan contohnya dalam soal-soal turunan yang sering muncul baik di bangku sekolah menengah atas maupun di bangku perkuliahan.
1. Pengantar Aturan Rantai
Sebelum kita masuk ke dalam contoh soal, mari kita pahami dulu apa itu aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika kita memiliki dua fungsi \( f \) dan \( g \) yang dapat didiferensialkan, dan kita ingin mencari turunan dari komposisi fungsi \( h = f(g(x)) \), maka turunan dari \( h \) adalah:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Secara sederhana, kita menghitung turunan dari fungsi luar pada g(x), kemudian mengalikan hasil tersebut dengan turunan dari fungsi dalam \( g(x) \).
2. Memahami Fungsi Komposisi
Sebelum kita masuk ke contoh soal, penting untuk memahami fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah fungsi yang diperoleh dengan memasukkan satu fungsi ke dalam fungsi lainnya. Misalnya, jika kita memiliki \( f(x) = \sin(x) \) dan \( g(x) = x^2 \), maka komposisi dari dua fungsi tersebut akan menjadi \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Pada fungsi komposisi, kita seringkali memandang \( g(x) \) sebagai “fungsi dalam” dan \( f(x) \) sebagai “fungsi luar”. Dalam contoh ini, fungsi dalam adalah \( x^2 \) dan fungsi luar adalah sinus.
3. Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita lihat beberapa contoh soal yang menggunakan aturan rantai untuk menyelesaikannya.
Contoh 1:
Diberikan fungsi \( y = \cos(3x^2) \), carilah turunan pertama dari y terhadap x.
Pembahasan:
Pertama, kita identifikasi fungsi dalam dan fungsi luar. Di sini, fungsi dalam adalah \( g(x) = 3x^2 \) dan fungsi luar \( f(g) = \cos(g) \).
Kita ketahui:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Dengan aturan rantai, kita mendapatkan:
\[ y’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Jadi, turunan dari \( y = \cos(3x^2) \) adalah:
\[ y’ = -6x \sin(3x^2) \]
Contoh 2:
Temukan turunan pertama dari \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Pembahasan:
Di sini fungsi dalam adalah \( g(x) = 5x^3 + 2x \) dan fungsi luar adalah \( f(g) = e^g \).
Kita ketahui:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Dengan aturan rantai, kita mendapatkan:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Jadi, turunan dari \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) adalah:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Contoh 3:
Carilah turunan pertama dari \( y = \ln(4x^2 – 5) \).
Pembahasan:
Fungsi dalam adalah \( g(x) = 4x^2 – 5 \) dan fungsi luar adalah \( f(g) = \ln(g) \).
Kita ketahui:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Dengan aturan rantai, kita mendapatkan:
\[ y’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Jadi, turunan dari \( y = \ln(4x^2 – 5) \) adalah:
\[ y’ = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Contoh 4:
Diberikan fungsi \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), temukan turunannya.
Pembahasan:
Fungsi dalam adalah \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) dan fungsi luar adalah \( f(g) = g^4 \).
Kita ketahui:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Dengan aturan rantai, kita mendapatkan:
\[ y’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Jadi, turunan dari \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) adalah:
\[ y’ = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Kasus Khusus dan Pengembangan Aturan Rantai
Terkadang, aturan rantai tidak berhenti pada komposisi dua fungsi saja. Ada kalanya sebuah fungsi adalah komposisi lebih dari dua fungsi, misalnya: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Untuk kasus tiga fungsi, aturan rantai dapat diaplikasikan secara berlapis:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Kita dapat melihat bahwa dalam setiap lapisan, kita menghitung turunan dari lapisan luar sebelum beralih ke turunan lapisan dalam.
Contoh 5:
Diberikan \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), temukan turunannya.
Pembahasan:
Fungsi paling dalam adalah \( k = 2x^2 + 1 \), tengah: \( g = \ln(k) \) dan luar: \( f = \sqrt{g} \).
Kita ketahui:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Mari kita aplikasikan aturan rantai secara berlapis:
\[ y’ = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Sehingga turunan dari \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) adalah:
\[ y’ = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Aturan rantai memainkan peran vital dalam kalkulus diferensial, terutama saat berhadapan dengan fungsi komposisi. Memahami dan menguasai aturan rantai memberikan pondasi kuat untuk menghadapi soal-soal lebih kompleks dalam kalkulus. Artikel ini sudah membahas beberapa contoh penting untuk memberikan pemahaman yang kuat tentang penerapan aturan rantai pada turunan. Semoga pembahasan ini bermanfaat bagi pembelajar dan dapat diterapkan dalam berbagai situasi matematika yang challenging.
