Contoh Soal dan Pembahasan Konsep Turunan Fungsi
Turunan fungsi merupakan salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai disiplin ilmu, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal serta pembahasan terkait konsep turunan fungsi untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam mengenai topik ini.
Definisi Dasar Turunan
Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita mengupas sedikit tentang definisi dan dasar turunan. Turunan dari sebuah fungsi \( f(x) \) pada titik \( x = a \) adalah:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Fungsi \( f'(x) \) disebut sebagai fungsi turunan dari \( f(x) \).
Contoh Soal 1: Turunan Dasar Polinomial
Soal:
Cari turunan pertama dari fungsi \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Pembahasan:
Gunakan aturan turunan dasar \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Untuk \( 3x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Untuk \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Untuk \( 2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Untuk \( -7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Dengan demikian:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Contoh Soal 2: Turunan Fungsi Trigonometri
Soal:
Cari turunan pertama dari fungsi \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Pembahasan:
Gunakan aturan hasil kali \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) dengan \( u(x) = \sin(x) \) dan \( v(x) = \cos(x) \).
1. Turunan dari \( \sin(x) \) adalah \( \cos(x) \), jadi \( u'(x) = \cos(x) \).
2. Turunan dari \( \cos(x) \) adalah \( -\sin(x) \), jadi \( v'(x) = -\sin(x) \).
Substitusi \( u'(x) \) dan \( v'(x) \):
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Hasil akhir:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Contoh Soal 3: Turunan Fungsi Eksponensial
Soal:
Cari turunan pertama dari fungsi \( h(x) = e^{2x} \).
Pembahasan:
Gunakan aturan turunan fungsi eksponensial \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) dengan \( k = 2 \).
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
Hasil akhir:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Contoh Soal 4: Turunan Fungsi Logaritma
Soal:
Cari turunan pertama dari fungsi \( p(x) = \ln(3x + 1) \).
Pembahasan:
Gunakan aturan turunan fungsi logaritma \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u’ \) dengan \( u(x) = 3x + 1 \).
1. Cari turunan dalamnya \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Gunakan aturan turunan logaritma:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Hasil akhir:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Contoh Soal 5: Aplikasi Turunan – Maksimum dan Minimum
Soal:
Cari nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) pada interval \( x \in [-2, 2] \).
Pembahasan:
1. Cari turunan pertama dari \( q(x) \):
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. Cari titik stasioner dengan menyelesaikan \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Titik stasioner adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \).
3. Evaluasi \( q(x) \) pada titik kritis dan batas interval:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Evaluasi hasil:
– Nilai maksimum terjadi pada \( x = 2 \) dengan \( q(2) = 15 \).
– Nilai minimum terjadi pada \( x = -1 \) dengan \( q(-1) = -12 \).
Penutup
Pemahaman mendalam terhadap konsep turunan fungsi sangat penting dalam berbagai bidang ilmu. Semoga contoh soal dan pembahasan di atas dapat membantu memperdalam pemahaman Anda tentang konsep turunan. Dalam praktik, seringkali kita harus mengkombinasikan berbagai aturan turunan dan teorema untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Selamat belajar!
