Contoh Soal Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar
Pengertian turunan atau derivative dalam kalkulus adalah salah satu konsep fundamental yang digunakan untuk menggambarkan bagaimana suatu fungsi berubah atau bagaimana kemiringan dari suatu fungsi di suatu titik. Turunan sangat berguna dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan teknik karena memberikan informasi tentang laju perubahan. Pada kesempatan ini, kita akan membahas beberapa contoh soal turunan dari fungsi aljabar beserta langkah-langkah penyelesaiannya.
Contoh 1: Turunan Fungsi Polinomial
Soal: Diberikan fungsi \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Tentukan turunan fungsi tersebut!
Penyelesaian:
Menggunakan aturan dasar turunan untuk fungsi polinomial, yaitu \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), maka kita akan menghitung turunan dari setiap suku fungsi tersebut satu per satu.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
Jadi, turunan dari \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) adalah \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Contoh 2: Turunan Fungsi dengan Pangkat Pecahan
Soal: Tentukan turunan dari fungsi \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Penyelesaian:
Menggunakan aturan turunan yang sama, yaitu \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
Jadi, turunan dari \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) adalah \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Contoh 3: Turunan Fungsi Eksponensial dan Trigonometri
Soal: Tentukan turunan dari fungsi \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan turunan ini, kita memerlukan aturan turunan untuk produk (Product Rule), yang berbunyi \((uv)’ = u’v + uv’\). Misalkan \( u(x) = e^x \) dan \( v(x) = \sin(x) \), maka:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{karena turunan dari } e^x \text{ adalah } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{karena turunan dari } \sin(x) \text{ adalah } \cos(x).
\end{align }
\]
Dengan menggunakan aturan turunan untuk produk:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))’ \\
&= e^x \cdot (\sin(x))’ + \sin(x) \cdot (e^x)’ \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
Jadi, turunan dari \( h(x) = e^x \sin(x) \) adalah \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Contoh 4: Turunan Fungsi dengan Aturan Rantai (Chain Rule)
Soal: Tentukan turunan dari fungsi \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan turunan ini, kita memerlukan aturan rantai (Chain Rule), yaitu \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Misalkan \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) dan \( f(u) = u^5 \), maka:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{sehingga} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
Dengan menggunakan aturan rantai:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
Jadi, turunan dari \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) adalah \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Contoh 5: Turunan Fungsi dengan Identitas Trigonometri
Soal: Tentukan turunan dari fungsi \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan aturan turunan untuk produk. Misalkan \( u(x) = \sin(x) \) dan \( v(x) = \cos(x) \), maka:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
Dengan menggunakan aturan turunan untuk produk:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))’ \\
&= (\sin(x))’ \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))’ \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
Menggunakan identitas trigonometri \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Jadi, turunan dari \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) adalah \( m'(x) = \cos(2x) \).
Kesimpulan
Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang sangat penting dan berguna dalam berbagai aplikasi. Berbagai aturan turunan, seperti aturan turunan dasar, aturan produk, aturan rantai, dan aturan untuk turunan trigonometri, semua membantu dalam menghitung turunan dari fungsi yang lebih kompleks. Dengan memahami contoh-contoh di atas dan berlatih mengerjakan soal-soal, kita dapat meningkatkan pemahaman dan keterampilan dalam mengambil turunan fungsi aljabar.
