Contoh Soal Pembahasan Kegunaan Perbandingan Trigonometri tan θ
Trigonometri adalah cabang matematika yang berhubungan dengan sudut dan fungsi sudut dalam segitiga. Salah satu konsep penting dalam trigonometri adalah perbandingan trigonometri dari sudut-sudut, seperti sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Dalam artikel ini, kita akan fokus pada tangen dari satu sudut θ, yang dinyatakan sebagai tan θ.
Pengertian Tan θ
Tangen dari sudut θ dalam sebuah segitiga siku-siku adalah perbandingan antara panjang sisi depan sudut θ (opposite) dan panjang sisi samping sudut θ (adjacent). Secara matematis, tan θ dinyatakan sebagai:
\[ \tan \theta = \frac{\text{sisi depan sudut θ}}{\text{sisi samping sudut θ}} \]
Untuk memahami lebih baik konsep ini, kita akan melalui beberapa contoh soal dan pembahasan tentang kegunaan tan θ.
Contoh Soal 1: Menghitung Tan θ
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan sudut θ di titik A, di mana sisi depan sudut θ memiliki panjang 3 cm dan sisi samping sudut θ memiliki panjang 4 cm. Hitunglah tan θ.
Penyelesaian:
Dari permasalahan di atas, kita tahu:
– Sisi depan sudut θ (opposite) = 3 cm
– Sisi samping sudut θ (adjacent) = 4 cm
Dengan menggunakan definisi tan θ, kita menghitung:
\[ \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
Jadi, tan θ = 0.75.
Secara geometris, ini berarti bahwa untuk sudut θ dalam segitiga tersebut, perbandingan antara panjang sisi depan dengan panjang sisi samping adalah 0.75.
Contoh Soal 2: Menggunakan Tan θ untuk Menghitung Panjang Sisi
Sebuah tangga bersandar pada tembok dengan sudut elevasi θ sebesar 30 derajat. Jarak dari kaki tangga ke tembok adalah 5 meter. Berapa panjang tangga yang bersandar pada tembok tersebut?
Penyelesaian:
Langkah pertama, kita ingat kembali definisi tan θ:
\[ \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
Dalam konteks masalah ini:
– θ = 30 derajat
– adjacent (jarak kaki tangga ke tembok) = 5 meter
– opposite (tinggi tangga terhadap tembok) = ???
Kita lebih dahulu menghitung\text{opposite)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Kita tahu dari tabel trigonometris bahwa:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Jadi:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Multiplikasi kedua sisi dengan 5:
\[ \text{opposite} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Opposite (tinggi tangga terhadap tembok) adalah:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ meter} \]
Jadi, panjang tangga tersebut adalah 5 meter.
Contoh Soal 3: Menghitung Sudut Menggunakan Tan θ
Suatu menara memiliki bayangan sepanjang 12 meter. Jika tinggi menara adalah 8 meter, berapakah sudut elevasi matahari θ?
Penyelesaian:
Dalam soal ini, kita diberikan:
– Tinggi menara (opposite) = 8 meter
– Panjang bayangan (adjacent) = 12 meter
Kita menggunakan definisi tan θ untuk menemukan θ:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Kini kita mencari θ dengan persamaan:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
Melihat melalui tabel atau kalkulator untuk menentukan nilai inverse tangent, kita menemukan:
\[ \theta \approx 33.69^\circ \]
Jadi, sudut elevasi matahari adalah sekitar 33.69 derajat.
Contoh Soal 4: Menerapkan Tan θ untuk Keperluan Dunia Nyata
Sebuah pemantul cahaya di atas mobil ditempatkan pada tiang 4 meter. Jika ingin memasang tanda sirine yang bisa terlihat pada sudut 45 derajat dari tanah. Hitunglah jarak terjauh di mana sirine tersebut masih bisa terlihat.
Penyelesaian:
Dari soal, diketahui:
– Tinggi tiang (opposite) = 4 meter
– Sudut θ = 45 derajat
Menurut definisi tan θ:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
Kita tahu bahwa \(\tan 45^\circ = 1\), sehingga:
\[ 1 = \frac{4}{\text{adjacent}} \]
Maka:
\[ \text{adjacent} = 4 \text{ meter} \]
Jadi, jarak terjauh di mana sirine bisa terlihat adalah 4 meter.
Kesimpulan
Dari contoh-contoh soal di atas, kita melihat bahwa tangen dari sudut θ (\(\tan \theta\)) adalah konsep yang sangat berguna dan memiliki berbagai aplikasi praktis, mulai dari pemecahan masalah sederhana dalam matematika hingga penerapannya dalam kebutuhan sehari-hari, seperti dalam konstruksi dan navigasi. Pemahaman yang baik terhadap konsep ini dapat membantu menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan perbandingan panjang sisi dalam segitiga.
Secara keseluruhan, tan θ sebagai bagian dari trigonometri tidak hanya menjadi materi penting dalam pendidikan formal tetapi juga alat yang sangat berguna dalam berbagai aspek kehidupan nyata. Semoga artikel ini memberikan gambaran yang jelas dan cukup mendalam tentang bagaimana menggunakan tan θ untuk memecahkan masalah terkait.
