Contoh soal pembahasan Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Contoh Soal Pembahasan Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Dalam geometri, kedudukan garis terhadap lingkaran adalah konsep fundamental yang sering dibahas dalam berbagai jenjang pendidikan. Garis dapat mengambil beberapa posisi relatif terhadap lingkaran, yakni sebagai garis potong, garis singgung, atau garis luar. Memahami konsep ini bukan hanya krusial untuk menyelesaikan soal-soal matematika, tetapi juga memperkaya pemahaman kita tentang geometri itu sendiri. Artikel ini akan mengupas tuntas berbagai bentuk contoh soal dan pembahasan mengenai kedudukan garis terhadap lingkaran.

1. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Untuk memulai, mari kita simak konsep dasar dari ketiga jenis posisi garis terhadap lingkaran:
1. Garis Potong (Secant): Garis yang memotong lingkaran di dua titik.
2. Garis Singgung (Tangent): Garis yang menyentuh lingkaran hanya pada satu titik.
3. Garis Luar : Garis yang tidak bersentuhan sama sekali dengan lingkaran.

2. Teori Dasar dan Rumus Penting

Beberapa rumus penting dan konsep dasar yang perlu diingat:
– Jarak dari titik pusat lingkaran ke garis \(d\) dapat menentukan posisi garis terhadap lingkaran:
– Bila \(d > r\) (jari-jari lingkaran), maka garis tersebut adalah garis luar.
– Bila \(d = r\), maka garis tersebut adalah garis singgung.
– Bila \(d < r\), maka garis tersebut adalah garis potong. - Persamaan umum lingkaran dengan pusat di titik \((h,k)\) dan jari-jari \(r\) adalah \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). - Persamaan garis dalam bentuk umum \(Ax + By + C = 0\).

3. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1: Garis Luar Soal: Diketahui lingkaran dengan persamaan \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\) dan garis \(4x + 3y - 7 = 0\). Tentukan kedudukan dari garis terhadap lingkaran tersebut. Pembahasan: 1. Identifikasi pusat dan jari-jari lingkaran: - Pusat lingkaran: \((2,-3)\) - Jari-jari lingkaran: \(r = \sqrt{25} = 5\) 2. Cari jarak dari titik pusat lingkaran ke garis: - Gunakan rumus jarak dari titik ke garis: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] - Dalam hal ini, \(A = 4\), \(B = 3\), dan \(C = -7\). Titik pusat adalah \((2, -3)\). - Substitusi: \[ d = \frac{|4(2) + 3(-3) - 7|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 - 9 - 7|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-8|}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \] 3. Bandingkan jarak dengan jari-jari lingkaran: - \(d = 1.6\) dan \(r = 5\) - Karena \(d < r\), garis tersebut adalah garis potong terhadap lingkaran. Contoh Soal 2: Garis Singgung Soal: Diketahui persamaan lingkaran \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16\) dan persamaan garis \(x + y - 3 = 0\). Apakah garis tersebut menyinggung lingkaran? Jika iya, tentukan titik singgungnya. Pembahasan: 1. Identifikasi pusat dan jari-jari lingkaran: - Pusat lingkaran: \((-2, 1)\) - Jari-jari lingkaran: \(r = \sqrt{16} = 4\) 2. Cari jarak dari pusat lingkaran ke garis: - Gunakan rumus jarak dari titik ke garis: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] - Dalam hal ini, \(A = 1\), \(B = 1\), dan \(C = -3\). Titik pusat adalah \((-2, 1)\). - Substitusi: \[ d = \frac{|1(-2) + 1(1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 1 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] 3. Bandingkan jarak dengan jari-jari lingkaran: - \(d = 2\sqrt{2}\) dan \(r = 4\) - Karena \(d \neq r\), garis ini tidak menyinggung lingkaran. Koreksi dan Perdebatan: - Jarak yang didapat bukanlah bentuk \(r = 4\) sehingga harus diperiksa ulang jika soalnya memiliki kesalahan ketik atau perhitungan kembali jika tidak ada koreksi, hasil tetap: garis ini bukan garis singgung melainkan garis potong. 4. Soal Latihan Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang dapat Anda coba sendiri: 1. Latihan 1: Garis Potong Diketahui lingkaran dengan persamaan \(x^2 + y^2 = 25\) dan garis dengan persamaan \(3x + 4y - 20 = 0\). Tentukan kedudukan garis terhadap lingkaran. 2. Latihan 2: Garis Singgung Lingkaran memiliki persamaan \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16\). Apakah garis \(2x - y + 3 = 0\) menyinggung lingkaran tersebut? Tentukan titik singgungnya jika iya. 3. Latihan 3: Garis Luar Lingkaran dengan persamaan \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9\). Tentukan kedudukan garis \(x + 2y - 14 = 0\) terhadap lingkaran. Menjawab soal-soal ini dengan mengikuti langkah-langkah yang telah dibahas akan membantu Anda memahami lebih dalam konsep kedudukan garis terhadap lingkaran. Kesimpulan Mempelajari kedudukan garis terhadap lingkaran merupakan aspek penting dalam geometri yang dapat diaplikasikan dalam berbagai konteks akademis dan praktis. Dengan memahami kaidah dasar dan menerapkan rumus-rumus yang tepat, kita dapat dengan mudah menentukan apakah sebuah garis memotong, menyinggung, atau berada di luar lingkaran. Penjelasan dalam artikel ini diharapkan dapat membantu Anda mengasah keterampilan geometri Anda dan mempersiapkan diri Anda lebih baik untuk menghadapi soal yang lebih kompleks. Selamat belajar!