Contoh Soal Pembahasan Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan salah satu topik penting yang dibahas dalam mata pelajaran matematika, khususnya dalam matematika tingkat menengah. Fungsi ini memiliki bentuk umum \( f(x) = ax^2 + bx + c \), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dengan \(a \neq 0\). Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal terkait fungsi kuadrat beserta pembahasannya secara mendetail untuk membantu siswa memahami konsep ini dengan lebih baik.
1. Menentukan Akar dari Fungsi Kuadrat
Soal 1: Carilah akar-akar dari fungsi kuadrat berikut:
\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]
Pembahasan:
Untuk menemukan akar-akar dari fungsi kuadrat, kita bisa menggunakan rumus kuadrat, yaitu:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Pada fungsi kuadrat \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), kita dapat mengidentifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\):
– \( a = 2 \)
– \( b = -3 \)
– \( c = -5 \)
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Temukan diskriminan (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \Delta = 9 + 40 \]
\[ \Delta = 49 \]
2. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akar:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
Maka kita mendapatkan dua solusi:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Jadi akar-akar dari fungsi tersebut adalah \( x = 2.5 \) dan \( x = -1 \).
2. Menentukan Verteks Fungsi Kuadrat
Soal 2: Tentukan titik puncak (verteks) dari fungsi kuadrat berikut:
\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]
Pembahasan:
Titik puncak dari fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan rumus:
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-b}{2a} \]
Pada fungsi kuadrat \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \), kita dapat mengidentifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\):
– \( a = -1 \)
– \( b = 4 \)
– \( c = -3 \)
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Temukan nilai \( x \) dari verteks:
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{verteks}} = 2 \]
2. Temukan nilai \( y \) dengan substitusi \( x_{\text{verteks}} \) ke dalam fungsi:
\[ y_{\text{verteks}} = g(2) \]
\[ y_{\text{verteks}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{verteks}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{verteks}} = 1 \]
Jadi titik puncak dari fungsi tersebut adalah \( (2, 1) \).
3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Soal 3: Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut:
\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]
Pembahasan:
Sebelum menggambar grafik fungsi kuadrat, kita perlu mengetahui beberapa poin penting, seperti akar-akar, titik puncak, dan arah parabola.
Menentukan Akar-Akar
Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menemukan akar-akar dari \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \):
\[ a = 1 \]
\[ b = -2 \]
\[ c = -3 \]
1. Hitung diskriminan:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \Delta = 4 + 12 \]
\[ \Delta = 16 \]
2. Hitung akar-akar:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Maka kita mendapatkan dua solusi:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Menentukan Titik Puncak
3. Gunakan rumus titik puncak:
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{verteks}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{verteks}} = 1 \]
4. Hitung nilai \( y \):
\[ y_{\text{verteks}} = h(1) \]
\[ y_{\text{verteks}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{verteks}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{verteks}} = -4 \]
Jadi titik puncak adalah \( (1, -4) \).
Menggambar Grafik
– Akar-akar berada di \( x = 3 \) dan \( x = -1 \).
– Titik puncak di \( (1, -4) \).
– Karena \( a > 0 \), parabola membuka ke atas.
Plot titik-titik penting ini di grafik dan gambarkan parabola yang melalui titik-titik tersebut.
Dengan memahami akar-akar, titik puncak, dan arah parabola, kita bisa menggambar grafik fungsi kuadrat dengan lebih sempurna.
Kesimpulan
Fungsi kuadrat adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki aplikasi luas. Pemahaman tentang fungsi kuadrat membantu kita dalam mendalami konsep-konsep lain dalam matematika dan ilmu terapan. Dengan berlatih melalui contoh-contoh soal dan memahami langkah-langkah dalam menyelesaikannya, diharapkan pemahaman akan fungsi kuadrat menjadi lebih mendalam dan aplikatif.
