Contoh Soal Pembahasan Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai macam soal, baik di jenjang sekolah menengah maupun di pendidikan tinggi. Konsep ini melibatkan deret angka di mana setiap sukunya merupakan hasil dari penjumlahan atau pengurangan konstan dari suku sebelumnya. Dalam artikel ini, kami akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasannya untuk memahami konsep deret aritmetika lebih mendalam.
Pengertian Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah deret yang memiliki bedanya (selisih tetap) antara dua suku berturutan. Misalkan suatu deret aritmetika memiliki suku pertama \(a\) dan bedanya \(d\), maka suku-sukunya dapat ditulis sebagai berikut:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Jika kita ingin mencari suku ke-n dari deret ini, rumus suku ke-n (\(U_n\)) adalah:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Sedangkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika (\(S_n\)) dapat dihitung dengan rumus:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Soal: Diberikan deret aritmetika dengan suku pertama \(a = 5\) dan beda \(d = 3\). Carilah suku ke-10 dari deret tersebut.
Pembahasan:
Untuk mencari suku ke-10 (\(U_{10}\)), kita dapat menggunakan rumus suku ke-n:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Jadi, suku ke-10 dari deret tersebut adalah 32.
Contoh Soal 2
Soal: Carilah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmetika yang memiliki suku pertama \(a = 4\) dan beda \(d = 7\).
Pembahasan:
Untuk mencari jumlah 15 suku pertama (\(S_{15}\)), kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Jadi, jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut adalah 795.
Contoh Soal 3
Soal: Diketahui bahwa suku ke-5 dari sebuah deret aritmetika adalah 20 dan suku ke-12 adalah 48. Carilah suku pertama (\(a\)) dan beda (\(d\)) dari deret tersebut.
Pembahasan:
Dari kondisi yang diberikan:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Kita memiliki dua persamaan linear dengan dua variabel yang dapat kita selesaikan:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
Dari persamaan 1, kita dapat mengekspresikan \(a\) dalam bentuk \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Sekarang kita substitusikan \(a\) ke dalam persamaan 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Sekarang kita substitusikan nilai \(d\) ke dalam persamaan \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 4 dan bedanya adalah 4.
Contoh Soal 4
Soal: Berapa banyak suku yang diperlukan dari suatu deret aritmetika dengan suku pertama \(a = 2\) dan beda \(d = 5\) agar jumlahnya mencapai 200?
Pembahasan:
Dalam hal ini, kita perlu mencari jumlah n suku pertama (\(S_n\)) yang sama dengan 200. Gunakan rumus jumlah n suku pertama:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Subtitusikan nilai \(a\) dan \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Ini adalah persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya, kita ubah bentuknya:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Gunakan rumus kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Dalam hal ini \(a = 5\), \(b = -1\), dan \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Nilai \(\sqrt{8001}\) mendekati 89.42, maka:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Kita ambil nilai positif:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
Jadi, jumlah suku yang diperlukan adalah 9 suku (jika dibulatkan).
Kesimpulan
Deret aritmetika merupakan topik yang sangat penting dalam matematika. Pemahaman mendalam tentang suku pertama, beda, suku ke-n, dan jumlah n suku pertama sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah. Dengan menggunakan contoh soal dan pembahasan di atas, diharapkan pembaca dapat memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang konsep dasar deret aritmetika.
