Teorema de Torricelli: problemes i solucions

Teorema de Torricelli: problemes i solucions

1. Un tub amb una alçada de 100 cm ple d'aigua. Un forat Q es troba a 10 cm del terra. Quina és la distància horitzontal (x)?

Conegut:

Distància entre el forat i la superfície de l'aigua (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Acceleració per gravetat (g) = 10 m/s²

Volia: Distància de x

Solució:

La velocitat del flux d'aigua al forat

v= accelerar, g = acceleració deguda a la gravetat, h = distància entre el forat i la superfície de l'aigua

La velocitat del flux d'aigua al forat:

Temps a l'aire

El moviment de l'aigua des del forat fins a terra és el moviment del projectilEl moviment del projectil es podria entendre analitzant els components horitzontal i vertical del moviment per separat. El moviment x es produeix a una velocitat constant i el moviment y es produeix a una acceleració constant de la gravetat.

En aquest problema, moviment vertical analitzat com a moviment de caiguda lliure.

Calcula el temps a l'aire utilitzant l'equació de la moviment de caiguda lliure.

Conegut:

L'alçada del forat (y) = 10 cm = 0.1 m

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Es busca: Interval de temps (t)

Solució:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 segons

La distància horitzontal (x):

Conegut:

La velocitat inicial (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Temps a l'aire (t) = √0.02 segons

Es busca: La distància horitzontal (x)

Solució:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metres

2. Un dipòsit que conté aigua amb una alçada d'1 metre. Al punt P hi ha un forat. Quina és la velocitat del flux d'aigua al forat? L'acceleració deguda a la gravetat és de 10 m/s².

Conegut:

Distància entre el forat i la superfície de l'aigua (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Volia: Velocitat del flux d'aigua al forat (v)

Solució:

La velocitat del flux d'aigua al forat:

3. Un granbanyera electrònica conté aigua i hi ha una aixeta com es mostra a la imatge següent. Si g = 10 ms^-2, aleshores la velocitat de l'aigua que surt de l'aixeta és...

Conegut:

Alçada (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metres

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Volia: Velocitat de l'aigua (v)

Solució:

TEl teorema d'Orricelli estableix que la velocitat de l'aigua a través d'un forat a una distància h de la superfície de l'aigua és igual a velocitat de caiguda lliureING aigua des d'una alçada de h.

La velocitat de l'aigua es calcula mitjançant la fórmula del moviment de caiguda lliurea v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A banyera ple d'aigua i en una paret hi ha un forat (vegeu figura següent). La velocitat de l'aigua que surt del forat és… (g = 10 ms^-2)

Conegut:

Alçada (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metres

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Es busca: Svelocitat de l'aigua (V)

Solució:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Un tanc que conté aigua de fins a 1 metre d'alçada (g = 10 ms^-2) i a la paret hi ha un forat de fuita (vegeu figura següent). La velocitat de l'aigua que surt del forat és...

Conegut:

Alçada (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metres

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Es busca: Svelocitat de l'aigua (V)

Solució:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Què descriu el teorema de Torricelli?
   • Resposta: El teorema de Torricelli relaciona la velocitat del fluid que surt d'un orifici amb l'alçada de la columna de fluid per sobre de l'obertura, assumint un flux estacionari, no viscós (sense viscositat) i incompressible.
2. Com s'expressa matemàticament el teorema de Torricelli?
   • Resposta: El teorema s'expressa com v=√2gh​, On $v$ és la velocitat de l'eflux, $g$ és l'acceleració deguda a la gravetat, i $h$ és l'alçada de la columna de fluid per sobre de l'orifici.
3. Sota quines hipòtesis es va derivar el teorema de Torricelli?
   • Resposta: El teorema assumeix que el fluid és incompressible i no viscós, que el flux és estacionari i que no s'afegeix ni es pren energia addicional del fluid.
4. Si un recipient té dos forats a diferents profunditats, com es compararan les velocitats dels fluids que surten dels forats?
   • Resposta: El fluid que emergeix del forat més a prop de la base tindrà una velocitat més gran que el fluid del forat més alt. Això és degut a que la pressió (i per tant l'energia potencial) és més gran a profunditats més profundes.
5. Per què la velocitat d'eflux no depèn de la forma o de la secció transversal del recipient?
   • Resposta: El teorema de Torricelli només considera l'energia potencial deguda a l'alçada de la columna de fluid per sobre de l'orifici. La forma del recipient no canvia aquesta alçada, de manera que la velocitat d'eflux roman igual.
6. En què es diferencia la velocitat real del fluid que surt d'un orifici de la predicció feta pel teorema de Torricelli en situacions del món real?
   • Resposta: En situacions reals, factors com la viscositat del fluid, la turbulència i la forma de l'orifici poden afectar la velocitat real, sovint fent-la inferior a la que prediu el teorema de Torricelli.
7. Quina relació hi ha entre el teorema de Torricelli i la conservació de l'energia?
   • Resposta: El teorema de Torricelli es deriva de la conservació de l'energia mecànica. Equipara l'energia potencial a la superfície del fluid amb l'energia cinètica a l'orifici.
8. Si hi ha un orifici a la part superior d'un recipient ple de fluid, com descriu el teorema de Torricelli la velocitat d'eflux?
   • Resposta: L'alçada $h$ per sobre de l'orifici seria zero, per tant, segons el teorema de Torricelli, la velocitat d'eflux seria zero.
9. Com afecta la presència de pressió atmosfèrica les prediccions del teorema de Torricelli?
   • Resposta: El teorema de Torricelli assumeix que el recipient està obert a l'atmosfera i, per tant, la pressió atmosfèrica actua per igual a través de la superfície del fluid. Aquesta pressió es cancel·la quan es considera la diferència de pressió a través de l'alçada del fluid, de manera que el teorema continua sent vàlid.
10. Què passa amb la velocitat d'eflux a mesura que disminueix el fluid dins del recipient?

• Resposta: A mesura que el nivell del líquid disminueix, l'alçada $h$ per sobre de l'orifici disminueix. Segons el teorema de Torricelli, la velocitat d'eflux disminuiria a mesura que v=√2gh​.

Aquestes preguntes i respostes exploren els fonaments, les implicacions i les aplicacions del teorema de Torricelli en la dinàmica de fluids.