Moviment del projectil: problemes i solucions

27 Moviment del projectil: problemes i solucions

1. Una bala va disparar unt un angle θ = 60^o amb una velocitat de 20 m / s. Acceleració per gravetat is 10 m / s²Quin és l'interval de temps per assolir l'alçada màxima?

Conegut:

La velocitat inicial de la bala (v_o) = 20 m/s

Angle (θ) = 60^oC

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms^-2

Es busca: L'interval de temps per arribar a alçada màxima

Solució:

La velocitat inicial en la direcció horitzontal (eix x):

v_ox = v_o cos 60^o = (20)(0.5) = 10 m/s

La velocitat inicial en la direcció vertical (eix y):

v_oy = vo sin 60^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

L'interval de temps per assolir l'alçada màxima, calculat mitjançant aquesta equació:

v_ty = v_oy + gt

v_ty = la velocitat final en direcció vertical = la velocitat final en el punt més alt = 0 m/s

v_oy = la velocitat inicial en la direcció horitzontal = 10√3 m/s

g = acceleració deguda a la gravetat = 10 m/s²

t = interval de temps

L'interval de temps:

v_ty = v_oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 segons

2. Un objecte projectat en angle. L'alçada de l'objecte és la mateixa quan l'interval de temps = 1 segon i 3 segons. Quin és l'interval de temps de l'objecte a l'aire?

Solució:

L'objecte a l'aire durant 4 segons.

3. Un avió es mou horitzontalment amb una velocitat de 50 m/s. A una alçada de 2 km, es deixa caure un objecte des de l'avió. Acceleració deguda a la gravetat = 10 m/s2, què? és l'interval de temps que transcorre abans que l'objecte toqui el terra.

Conegut:

Altitud = 2 km = 2000 metres

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Es busca: L'interval de temps (t)

Solució:

h = 1/2 gt²

2000 = 1/2 (10) t²

2000 = 5 t²

t² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 segons

4. Una pilota de futbol xutada surt del terra amb un angle θ = 45^o amb l'horitzontal té una velocitat inicial de 25 m/s. Determineu la distància de X. L'acceleració deguda a la gravetat és de 10 m/s².

Conegut:

Velocitat inicial (v)_o) = 25 m/s

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Angle (θ) = 45^o

Es busca: X

Solució:

La component horitzontal de la velocitat inicial:

v_ox = v_o cos θ = (25 m/s)(cos 45^o) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

La component vertical de la velocitat inicial:

v_oy = v_o sin θ = (25 m/s)(sin 45^o) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

El moviment d'un projectil es pot entendre analitzant els components horitzontal i vertical del moviment per separat. El moviment x es produeix a velocitat constant i el moviment y es produeix a acceleració constant de la gravetat.

Temps a l'aire (t) :

El temps a l'aire es calcula amb l'equació del moviment vertical ascendent.

Trieu la direcció ascendent com a positiva i la direcció descendent com a negativa.

Conegut:

La velocitat inicial (v_o) = 12.5√2 m/s (direcció ascendent, positiva)

Acceleració deguda a la gravetat (g) = -10 m/s² (direcció descendent, negativa)

Alçada (h) = 0

Es busca: Interval de temps (t)

Solució:

h = v_o t + 1/2 gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t²

0 = 12.5√2 t – 5 t²

12.5√2 t = 5 t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 segons

La distància horitzontal (X) :

Calculat mitjançant l'equació de la moviment lineal uniforme amb velocitat constant.

Conegut:

Velocitat (v) = 12.5√2 m/s

Interval de temps (t) = 2.5√2 segons

Es busca: Distància

Solució:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metres

5. Un objecte es projecta cap amunt amb un angle θ = 30^o amb l'horitzontal té una velocitat inicial de 20 m/s. L'acceleració deguda a la gravetat és de 10 m/s²Determineu l'alçada màxima.

Conegut:

La velocitat inicial (v_o) = 20 m/s

Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s²

Angle (θ) = 30^o

Desitjat : L'alçada màxima

Solució:

Primer, trobeu la component vertical de la velocitat inicial (v_oy):

v_oy = v_o pecat 30^o = (20)(sin 30^o) = (20)(0.5) = 10 m/s

Calcula l'alçada màxima. Tria la direcció ascendent com a positiva i la direcció descendent com a negativa.

Conegut:

Acceleració deguda a la gravetat (g) = -10 m/s² (cap avall direcció, negativa)

El component vertical de la velocitat inicial (v_oy) = 10 m/s (direcció ascendent, positiva)

Velocitat a l'alçada màxima (v)_ty) = 0

Es busca: L'alçada màxima (h)

Solució:

v_t² = v_o² + 2 gh

0² = 10² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 h

100 = 20 h

h = 100/20

h = 5 metres

L'alçada màxima és de 5 metres.

6. Es llança un objecte amb un cert angle d'elevació. L'alçada de l'objecte és la mateixa després d'1 segon i 3 segons. Determina el temps a l'aire.

A. 3.6 s

B. 4.0 s

C. 5.6 s

D. 6.4 s

Solució

Temps a l'aire = 4 segons.

La resposta correcta és B.

7. Un avió es mou horitzontalment amb una velocitat de 50 m/s. Quan l'avió es troba a una alçada de 2 km, un objecte pot caure lliurement de l'avió. Determineu el tipus de moviment.

A. Moviment de caiguda lliure

B. Moviment flotant

C. Moviment horitzontal

D. Moviment del projectil

Solució:

L'objecte es deixa caure des del pla en moviment perquè té la mateixa velocitat que la velocitat de l'avió, és a dir, 50 m/s. El moviment d'objectes no és com el moviment de caiguda lliure, sinó com el moviment parabòlic. El cas és el mateix que si deixes caure objectes des de dins d'un cotxe en moviment.

La resposta correcta és D.

8. Es llança una pilota horitzontalment a 15 m/s des d'un penya-segat de 60 metres d'alçada. Quant de temps triga a tocar a terra?
Solució: Utilitzant \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), trobem que el temps és \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. Un projectil es dispara amb un angle de 30° sobre l'horitzontal amb una velocitat inicial de 20 m/s. Quina és l'alçada màxima assolida?
Solució: Utilitzant \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), l'alçada màxima és \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. Es llança una pedra horitzontalment a 10 m/s des d'una torre de 80 metres d'alçada. Troba la distància horitzontal que recorre abans de tocar el terra.
Solució: Utilitzant el temps trobat de manera similar al problema 1, la distància horitzontal és \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).

11. Una bala de canó es dispara a 40 m/s amb un angle de 45°. Troba el temps de vol.
Solució: Utilitzant \(t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), el temps de vol és \(t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. Es llança una pilota de beisbol amb un angle de 60° i una velocitat de 12 m/s. Troba l'abast horitzontal.
Solució: Utilitzant \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), el rang és \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. Es llança un projectil amb una velocitat inicial de 50 m/s a 37° per sobre de l'horitzontal. Quin és el component de la velocitat vertical?
Solució: La component vertical és (v_y = v \sin \theta \approx 30\ m/s).

14. Un projectil es llança horitzontalment a 20 m/s des d'una altura de 100 metres. Quina és la velocitat vertical just abans que toqui el terra?
Solució: Utilitzant \(v_y = \sqrt{2gh} \), la velocitat vertical és \(v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).

15. Es llança una roca amb un angle de 25° sobre l'horitzontal i una velocitat inicial de 15 m/s. Quines són les components horitzontal i vertical de la velocitat?
Solució: El component horitzontal és (v_x = v \cos θ \approx 13.4\text{m/s}), i el component vertical és (v_y \approx 6.4\text{m/s}).

16. Una pilota de futbol es xuta amb una velocitat inicial de 30 m/s en un angle de 40° sobre l'horitzontal. Quina és la seva component de velocitat horitzontal?
Solució: La component horitzontal és (v_x = v cos θ \approx 22.9 m/s).

17. Una pilota de golf es colpeja amb una velocitat inicial de 70 m/s a un angle de 20°. Quin és el temps de vol?
Solució: Utilitzant l'equació del temps de vol, el temps és \(t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. Un projectil es dispara des del terra amb una velocitat de 25 m/s a 53° per sobre de l'horitzontal. Quin és el seu component de velocitat vertical inicial?
Solució: La component vertical és (v_y = v \sin \theta \approx 20\ m/s).

19. Es llança una pilota de beisbol amb una velocitat inicial de 20 m/s amb un angle de 50°. Quina és l'alçada màxima?
Solució: Utilitzant l'equació per a l'alçada màxima, l'alçada és \(h \approx 15.3\ \text{m} \).

20. Una bala es dispara horitzontalment amb una velocitat de 200 m/s des d'una alçada de 10 metres. Quant de temps triga a tocar el terra?
Solució: Utilitzant l'equació del temps, el temps és \(t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. Una bala de canó es dispara a 45 m/s amb un angle de 30°. Troba la distància.
Solució: Utilitzant l'equació de rang, el rang és (R \approx 88.2 m).

22. Es llança una pilota de bàsquet amb un angle de 75° i una velocitat de 10 m/s. Troba l'abast horitzontal.
Solució: Utilitzant l'equació de rang, el rang és (R \approx 5.3 m).

23. Un projectil es llança amb una velocitat inicial de 30 m/s a 22° per sobre de l'horitzontal. Quina és la velocitat vertical just abans que toqui el terra?
Solució: Utilitzant l'equació de la velocitat vertical, la velocitat vertical és (v_y \approx 11.4 m/s).

24. Una roca es llança horitzontalment a 8 m/s des d'una torre de 40 metres d'alçada. Quina és la distància horitzontal que recorre?
Solució: Utilitzant l'equació de distància horitzontal, la distància és \(d \approx 16\ \text{m} \).

25. Una pilota de futbol es xuta amb una velocitat inicial de 12 m/s en un angle de 30° sobre l'horitzontal. Quines són les components horitzontal i vertical de la velocitat?
Solució: El component horitzontal és (v_x \approx 10.4\text{m/s}), i el component vertical és (v_y \approx 6\text{m/s}).

26. Una pilota de golf es colpeja amb una velocitat inicial de 50 m/s a un angle de 15°. Quin és el temps de vol?
Solució: Utilitzant l'equació del temps de vol, el temps és \(t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. Un projectil es dispara des del terra amb una velocitat de 40 m/s a 60° per sobre de l'horitzontal. Quina és la seva component de velocitat horitzontal inicial?
Solució: La component horitzontal és (v_x = v cos θ \approx 20 m/s).