Conservació de l'energia mecànica en superfícies corbes: problemes i solucions
1. Si la velocitat de la pilota al punt A és de 6 m/s, la velocitat de la pilota al punt B és de √92 m/s i l'acceleració deguda a la gravetat és g = 10 m/s² . Quina és l'altura del punt B (h)?
Conegut:
Velocitat de la pilota al punt A (v)A) = 6 m/s
Velocitat de la pilota al punt B (v B ) = √92 m/s
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
L'alçada d'A (h A ) = 5.6 metres
L'alçada de B (h B ) = h
Es busca: l'alçada del punt B (h)
Solució:
L'energia mecànica inicial = l'energia potencial gravitatòria
En el punt A, la velocitat de la pilota = 0, per tant l' energia cinètica de la pilota = 0. KE = 1/2 mv² = 1/2 m (0) = 0.
La pilota es troba a l'alçada de 5.6 metres, de manera que la pilota té energia potencial gravitatòria. L' energia potencial gravitatòria : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
L' energia mecànica inicial = l'energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 56 m + 0 = 56 m
L'energia mecànica final = energia potencial gravitatòria + energia cinètica
En el punt B, l'alçada de la pilota és h. L'energia potencial gravitatòria: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
L'energia cinètica de la pilota: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m
L'energia mecànica final = l'energia potencial gravitatòria + l'energia cinètica = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
El principi de conservació de l'energia mecànica:
L'energia mecànica inicial = l'energia mecànica final
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 h + 46
56 – 46 = 10 h
10 = 10 h
h = 10/10
h = 1 metres
2.
Si la velocitat inicial = 0, l'acceleració deguda a la gravetat = 10 m/s² , quina és la velocitat a l'altura de B?
Conegut:
La velocitat inicial (v o ) = 0
L'alçada inicial (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
L'alçada final (ht ) = 0
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms -2
Es busca: la velocitat final ( vt )
Solució:
El canvi d'energia cinètica:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
La variació de l'energia potencial:
ΔPE = mg (ht – h₂o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m
Calcula la velocitat final (vt ) utilitzant l'equació del principi de conservació de l'energia mecànica :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
v t² = 2 (400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Què s'entén per "conservació de l'energia mecànica"?
- Resposta: La conservació de l'energia mecànica significa que l'energia mecànica total (suma de l'energia cinètica i potencial) d'un sistema aïllat roman constant si només hi actuen forces conservatives, com la gravetat.
- Com conserva la seva energia mecànica un objecte que es mou sobre una superfície corba (com una pilota que roda per una rampa corba)?
- Resposta: A mesura que l'objecte es mou per la superfície corba, l'energia potencial es converteix en energia cinètica, però l'energia mecànica total roman constant, suposant que no hi ha forces no conservatives (com la fricció) que estiguin fent treball.
- Si una pilota es deixa anar des del repòs a la part superior d'una rampa corba, com varia la seva energia cinètica a mesura que baixa per la rampa?
- Resposta: L'energia cinètica de la pilota augmenta a mesura que baixa per la rampa perquè la seva energia potencial disminueix i es converteix en energia cinètica.
- En absència de fricció, com es compararia la velocitat d'una bola a la part inferior d'un tobogan corbat amb un tobogan recte de la mateixa alçada?
- Resposta: La velocitat de la pilota a la part inferior seria la mateixa tant per als tobogans corbs com per als rectes, ja que la conversió d'energia potencial en energia cinètica només depèn de l'alçada vertical, no del camí recorregut.
- Per què una pilota no pot arribar a la seva alçada original quan es fa rodar per una rampa corba després de baixar des d'una certa alçada?
- Resposta: Si hi ha forces no conservatives com la fricció que actuen sobre la pilota, aquestes faran treball en contra del moviment, convertint part de l'energia mecànica de la pilota en altres formes, com ara la calor. Com a resultat, és possible que la pilota no tingui prou energia per assolir la seva alçada original.
- Si dos objectes de formes diferents (per exemple, una esfera i un cub) llisquen per una rampa corba des de la mateixa alçada sense rodar, tindran la mateixa velocitat a la part inferior? Per què?
- Resposta: Sí, tindran la mateixa velocitat a la part inferior. Suposant que no hi hagi rodament ni fricció, l'únic factor que determina la seva velocitat és la conservació de l'energia basada en l'alçada inicial, no en la seva forma.
- Com afecta la curvatura d'una superfície la força normal sobre un objecte que es mou al seu llarg?
- Resposta: La curvatura fa que la direcció de la força normal canviï a mesura que l'objecte es mou. En una superfície còncava ascendent (com l'interior d'un bol), la força normal és més gran a la part inferior a causa de la força centrípeta necessària per al moviment corbat. Per contra, en una superfície convexa, la força normal pot disminuir o fins i tot arribar a ser zero (l'objecte surt de la superfície) al punt més superior.
- Quin paper juga el radi de curvatura en la conservació de l'energia mecànica en una superfície corba?
- Resposta: El radi de curvatura en si mateix no afecta directament la conservació de l'energia mecànica. Tanmateix, pot influir en la força normal i, si hi ha fricció, en la quantitat d'energia perduda a causa de forces no conservatives.
- Si una pista té un cabussament al mig (com una corba en forma d'U), com varia l'energia mecànica d'un objecte a mesura que es mou a través del cabussament i puja per l'altre costat?
- Resposta: L'energia potencial de l'objecte disminuirà a mesura que es mou cap a la cavadura i augmentarà la seva energia cinètica. A mesura que puja per l'altre costat, la seva energia cinètica disminuirà i la seva energia potencial augmentarà. Si només actuen forces conservatives, l'energia mecànica total roman constant durant tot el moviment.
- Pot un objecte tenir energia cinètica de translació i de rotació quan es mou sobre una superfície corba?
- Resposta: Sí, si un objecte com una pilota roda (sense relliscar) sobre una superfície corba, tindrà energia cinètica de translació a causa del moviment del seu centre de massa i energia cinètica de rotació a causa de la seva rotació al voltant del seu eix.
