El teorema del treball-energia cinètica estableix que el treball total, o esforç realitzat per una força neta sobre un objecte, és igual al canvi en l'energia cinètica de l'objecte. Si la força neta fa un treball positiu (la força neta és en la mateixa direcció que el desplaçament), aleshores l'energia cinètica de l'objecte augmenta. Per contra, si la força neta fa un treball negatiu (la força neta és en la direcció oposada al desplaçament), aleshores l'energia cinètica de l'objecte disminueix.
W total = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Si només actuen forces conservatives sobre un objecte, com en el cas d' un objecte en caiguda lliure , aleshores la força neta és igual a la força conservativa. L'enunciat del teorema del treball-energia cinètica es pot convertir en treball total, o el treball realitzat per la força conservativa és igual al canvi d'energia cinètica. Si la força conservativa fa un treball positiu (la força conservativa és en la mateixa direcció que el desplaçament), aleshores l'energia cinètica de l'objecte augmenta. Per contra, si la força conservativa fa un treball negatiu (la força conservativa és en la direcció oposada al desplaçament), aleshores l'energia cinètica de l'objecte disminueix.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
El treball realitzat per una força conservativa sobre un objecte és igual al canvi negatiu en l'energia potencial de l'objecte. Si la força conservativa fa un treball positiu, l'energia potencial disminueix. Per contra, si la força conservativa fa un treball negatiu, l'energia potencial augmenta.
W c = – (EP 2 – EP 1 ) = – mg (h 2 – h 1 ) = – mgh 2 + mgh 1 = mgh 1 – mgh 2
Segons la revisió anterior, sembla que hi ha una relació entre el treball realitzat per una força conservativa sobre un objecte i els canvis en les energies cinètiques i potencials de l'objecte. Si la força conservativa fa un treball positiu, l'energia cinètica augmenta, mentre que l'energia potencial disminueix. Si la força conservativa fa un treball negatiu, l'energia cinètica disminueix, mentre que l'energia potencial augmenta.
W c = W c
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
Informació:
EM 1 = energia mecànica inicial, EM 2 = energia mecànica final, EP 1 = energia potencial inicial, EP 2 = energia potencial final, EK 1 = energia cinètica inicial, EK 2 = energia cinètica final
Exemple de problemes
1. Un bloc es deixa anar sense velocitat inicial a la part superior d'un pla inclinat llis (a A). El bloc llisca fins a la part inferior del pla inclinat (a E).
Si AB = BC = CD = DE, aleshores la relació entre la velocitat dels blocs a C, D i E és…
Discussió
Se sap:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Pregunta: Comparació de la velocitat dels blocs a C, D i E.
Resposta:
La llei de conservació de l'energia mecànica estableix que l'energia mecànica inicial = energia mecànica final.
Energia mecànica inicial = energia potencial gravitatòria
Energia mecànica final = energia cinètica
A la part superior, el bloc està en repòs, de manera que la seva energia cinètica és zero i la seva energia potencial gravitatòria és màxima. A mesura que es mou de dalt a baix del pendent, la seva energia potencial gravitatòria disminueix i es converteix en energia cinètica. Quan arriba al fons del pendent, la seva energia cinètica és màxima i la seva energia potencial gravitatòria és zero.
Energia potencial gravitatòria en el punt A = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Energia cinètica al punt A = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
Energia potencial gravitatòria al punt B = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Energia cinètica al punt B = 1/2 mv²
Energia potencial gravitatòria en el punt C = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Energia cinètica en el punt C = 1/2 mv²
Energia potencial gravitatòria en el punt D = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Energia cinètica en el punt D = 1/2 mv²
Energia potencial gravitatòria en el punt E = mgh = mg (0) = 0
Energia cinètica al punt E = 1/2 mv²
Energia mecànica al punt A = Energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Energia mecànica al punt B = Energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 3/4 mg + 1/2 mv²
Energia mecànica al punt C = Energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 2/4 mg + 1/2 mv²
Energia mecànica al punt D = Energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 1/4 mg + 1/2 mv²
Energia mecànica al punt E = Energia potencial gravitatòria + energia cinètica = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
Velocitat del bloc a C:
Energia mecànica al punt C = energia mecànica inicial (energia mecànica constant)
2/4 mg + 1/2 mV² = 4/4 mg
1/2 mV² = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mV² = 2/2 mg
1/2 mV² = 1/2 mg
mv² = mg
v² = g
v = √g
Velocitat del bloc a D:
Energia mecànica al punt D = energia mecànica inicial (energia mecànica constant)
1/4 mg + 1/2 mV² = 4/4 mg
1/2 mV² = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mV² = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v² = 2 (3/4) g
v² = (6/2) g
v² = (3/2) g
v2 = 1,5 g
v = √1,5g
La velocitat del bloc a E:
Energia mecànica al punt E = energia mecànica inicial (energia mecànica constant)
1/2 mV² = mg
1/2 v 2 = g
v² = 2g
v = √2g
Comparació de la velocitat dels blocs a C, D i E:
√g : √1,5g : √2g
√ 1 : √1,5 : √2 (multiplicar per 2)
√ 2 : √ 3 : √ 4
√ 2 : √ 3 : 2
2. Mira la imatge següent!
Dos objectes baixen per un camí des del punt A. La massa del primer objecte és m1 = 5 kg i la del segon objecte és m2 = 15 kg. Si l'acceleració deguda a la gravetat és g = 10 m s⁻² , aleshores la relació entre l'energia cinètica Ek1 : Ek2 al punt B és…
A. 1:2
B. 1:3
C. 1:9
D. 2: 1
E. 3:1
Discussió
Se sap que:
Massa de l'objecte 1 (m² ) = 5 kg
Massa de l'objecte 2 (m² ) = 15 kg
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
Distància entre els punts A i B (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Pregunta: Comparació de l'energia cinètica Ek 1 : Ek 2 al punt B
Resposta:
L'energia potencial gravitatòria d'un objecte en el punt A es mesura des del punt B:
EP 1 = m 1 gh = (5 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 500 Joules
EP 2 = m 2 gh = (15 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 1500 Joules
La llei de conservació de l'energia mecànica estableix que l'energia mecànica inicial = energia mecànica final.
Energia mecànica inicial = energia potencial gravitatòria
Energia mecànica final = energia cinètica
EP 1 = EK 1
500 Joules = EK 1
EP 2 = EK 2
1500 Joules = EK 2
EX 1 : EX 2
500: 1500
5: 15
1: 3
La resposta correcta és B.
3. Mira la imatge!
Una bala amb massa m roda per un pla semicircular llis sense velocitat inicial des del punt A. La velocitat de la bala al punt B és…
A. 10 ms-1
B. 2 √10 ms -1
C. √ 10 m.s -1
D. 2 √5 ms -1
E. √ 5 m.s⁻¹
Discussió
Se sap que:
La diferència d'alçada entre els punts A i B (h) = 4 m – 2 m = 2 metres
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
Massa del marbre (m) = m
Pregunta: La velocitat de la bala al punt B
Resposta:
Energia mecànica inicial = energia mecànica al punt A = energia potencial gravitatòria = mgh = (m)(10)(2) = 20 m
Energia mecànica final = energia mecànica al punt B = energia cinètica = 1/2 mv²
Llei de conservació de l'energia mecànica:
Energia mecànica inicial = energia mecànica final
20 m = 1/2 mv²
20 = 1/2 contra 2
2 (20) = v2
40 = v2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
La resposta correcta és B.
4. Una pilota llisca per una pista relliscosa com es mostra a la imatge següent.
Si la velocitat de la pilota al punt A és de 6 ms -1 , al punt B és de √ 92 ms -1 i g = 10 ms -2 , aleshores l'alçada del punt B des de la part inferior de la pista és...
A. 0,5 m
B. 0,5 √ 2 m
C. 1 m
D. √ 2 m
E. 2,8 m
Discussió
Se sap que:
La velocitat de la pilota al punt A (v A ) = 6 ms -1
La velocitat de la pilota al punt B (v B ) = √ 92 ms -1
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms -2
Alçada A (h A ) = 5,6 metres
Alçada B (h B ) = h
Pregunta: L' alçada del punt B des de la part inferior de la pista
Resposta:
La pista és relliscosa, per tant no hi ha fricció. Per tant, l'única força que actua sobre l'objecte és la gravetat. La gravetat és una força conservativa. El treball realitzat per una força conservativa no depèn de la forma de la pista sinó del canvi de posició.
Així doncs, podem calcular l'alçada del punt B des de la part inferior de la pista utilitzant la fórmula de la llei de conservació de l'energia mecànica.
Energia mecànica inicial = Energia potencial gravitatòria
Quan es troba al punt A, la pilota encara no es mou, de manera que la seva velocitat és zero. La velocitat de la pilota és zero, de manera que l'energia cinètica de la pilota és zero. Energia cinètica: EK = 1/2 mv² = 1/2 m (0) = 0.
Però la pilota es troba a una alçada de 5,6 metres des del fons, de manera que té energia potencial gravitatòria. Energia potencial gravitatòria: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
Energia mecànica inicial = Energia potencial gravitatòria + Energia cinètica = 56 m + 0 = 56 m
Energia mecànica final = Energia potencial gravitatòria + Energia cinètica
Quan es troba al punt B, l'alçada de la pilota és h. Energia potencial gravitatòria: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
El punt B és molt per sota del punt A , de manera que la pilota encara es mou a una certa velocitat. La pilota encara es mou a una certa velocitat, de manera que té energia cinètica. Energia cinètica: EK = 1/2 mv² = 1/2 m ( √92 ) ² = 1/2 m ( 92) = 46 m
Energia mecànica final = Energia potencial gravitatòria + Energia cinètica = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Llei de conservació de l'energia mecànica:
Energia mecànica inicial = Energia mecànica final
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 h + 46
56 – 46 = 10 h
10 = 10 h
h = 10/10 = 1 metre
La resposta correcta és C.
Font de la pregunta:
Preguntes de física de l'examen nacional per a secundària/institut professional
