Statistik Məlumatlarda Kvartilləri, Desilləri və Persentilləri Necə Hesablamaq olar
Statistikada tez-tez bir dəyərin məlumat dəsti daxilindəki mövqeyini bilməliyik. Sadəcə orta və ya medianın hesablanması kifayət deyil, çünki bu ölçülər məlumatların necə paylandığını və müşahidənin digərləri ilə necə müqayisə olunduğunu təsvir edə bilmir. Kvartillər, desillər və persentillər burada rol oynayır. Bu üç ölçü çeşidlənmiş məlumatları bərabər hissələrə bölən mövqe ölçüləridir. Bu məqalədə həm tək, həm də qruplaşdırılmış məlumatlar üçün kvartillərin, desillərin və persentillərin tərifi, ümumi addımları və necə hesablanacağı müzakirə olunur.
-
1. Əsas Konsepsiya : Məlumatlar Çeşidlənməlidir
Kvartilləri, desilləri və ya persentilləri hesablamadan əvvəl ən vacib addım məlumatları ən kiçikdən böyüyə doğru sıralamaqdır. Məlumatlar sıralandıqdan sonra, kvartillərin, desillərin və ya persentillərin yerini onların indeks mövqelərinə əsasən müəyyən edə bilərik.
Ümumiyyətlə:
– Kvartillər məlumatları 4 hissəyə bölür.
– Desillər məlumatları 10 hissəyə bölür.
– Persentillər məlumatları 100 hissəyə bölür.
Təcrübədə kvartillər, desillər və persentillər adətən test ballarının, gəlir məlumatlarının, antropometrik ölçmələrin (boy/çəki) və performansın qiymətləndirilməsinin təhlili üçün istifadə olunur.
-
2. Kvartilləri necə hesablamaq olar (1-ci rüb, 2-ci rüb, 3-cü rüb)
A. Tək Məlumatlarda Kvartillər (Qruplaşdırılmamış)
Kvartillər aşağıdakılardan ibarətdir:
– S1: aşağı kvartil (məlumatların 25%-i ondan aşağıdadır)
– S2: median (50%)
– 3-cü rüb: yuxarı kvartil (75%)
Tək məlumat kvartillərini hesablamaq üçün addımlar:
1. Məlumatları çeşidləyin.
2. Mövqe düsturundan istifadə edərək kvartil mövqeyini hesablayın:
– Q1 Vəzifəsi = \((n+1)/4\)
– Q2 mövqeyi = \(2(n+1)/4\) və ya \((n+1)/2\)
– Q3 mövqeyi = \(3(n+1)/4\)
Əgər mövqe tam ədəddirsə, həmin mövqedəki dəyəri götürün. Əgər mövqe kəsrdirsə, interpolasiya edin (ən yaxın iki məlumat nöqtəsi arasındakı dəyəri götürün).
Tez bir nümunə:
Çeşidlənmiş məlumatlar: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Q1 mövqeyi = (8+1)/4 = 2,25 → 2-ci və 3-cü məlumatlar arasındadır.
Beləliklə, Q1 6 ilə 7 arasındadır. İnterpolasiya:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Qruplaşdırılmış Məlumatlarda Kvartillər ( Tezlik Paylanması )
Qruplaşdırılmış məlumatlar (məsələn, sinif intervalları ) üçün kvartillər aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə hesablanır:
\[
Q_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{4}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Məlumat:
– \(Q_k\): k-cı kvartil (k = 1,2,3)
– \(L\): kvartil sinfinin aşağı kənarı
– \(n\): məlumatların sayı (ümumi tezlik)
– (F): kümülatif tezlik dörddəbir sinifdən əvvəl
– \(f\): kvartil sinifində tezlik
– \(c\): sinif uzunluğu
Ümumi addımlar:
1. Kümülatif tezlik yaradın.
2. Kvartilin yerini təyin edin: \(k/4 \times n\).
3. Həmin mövqeyi ehtiva edən sinfi tapın.
4. Düstura daxil edin.
-
3. Desilləri necə hesablamaq olar (D1-dən D9-a qədər)
Desillər məlumatları 10 hissəyə bölür, beləliklə:
– \(D_1\) məlumatların ən aşağı 10% limitini göstərir,
– \(D_5\) medianaya bərabərdir,
– \(D_9\) 90% məlumat limitini göstərir.
A. Tək Məlumatlarda Desillər
Desil mövqeyi düsturu:
\[
\text{Mövqe } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
\(k = 1,2,\dots,9\) ilə.
Mövqe əldə edildikdən sonra, dəyəri götürmə üsulu kvartil üçün olduğu kimidir: əgər tamdırsa, birbaşa götürün, kəsrlidirsə, interpolasiya edin.
-
B. Qruplaşdırılmış Məlumatlarda Desillər
Qruplaşdırılmış məlumatlar üçün desil düsturu:
\[
D_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{10}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Təsvir kvartil ilə eynidir, yalnız bölən 10-dur.
Addım:
1. \(k/10 \v n\)-i hesablayın.
2. Kümülatif tezliyə əsasən desil sinfini təyin edin.
3. Düsturu əvəz edin.
Desillər tez-tez iqtisadi təhlildə istifadə olunur, məsələn, insanların gəlirlərini 10 qrupa bölmək (desil 1 ən kasıb, desil 10 isə ən varlı).
-
4. Persentilləri necə hesablamaq olar (P1-dən P99-a qədər)
Persentillər məlumatları 100 hissəyə böldükləri üçün daha ətraflıdır. P25 = Q1, P50 = median və P75 = Q3 dəyəri. Bu o deməkdir ki, kvartillər əslində persentillərin xüsusi halıdır.
A. Tək Məlumatlar üzrə Persentillər
Persentil mövqeyi düsturu:
\[
\text{Mövqe } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
\(k = 1,2,\dots,99\) ilə.
Prosedur eynidir: məlumatları çeşidləyin, mövqeyi hesablayın, sonra dəyəri götürün və ya interpolasiya edin.
-
B. Qruplaşdırılmış Məlumatlarda Persentillər
Qruplaşdırılmış məlumatların faiz düsturu:
\[
P_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{100}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Addımlar desil/kvartillərlə eynidir:
1. Mövqeyi \(k/100 \times n\) təyin edin.
2. Kümülatif tezliyin persentil sinfini tapın.
3. Düsturdan istifadə edin.
Persentillər tez-tez akademik və sağlamlıq qiymətləndirmələrində istifadə olunur. Məsələn, uşağın boyu 80-ci persentildədirsə, bu, onun yaşıd uşaqların 80%-dən hündür olması deməkdir.
-
5. Vacib Məsləhətlər və Ümumi Səhvlər
1. Məlumatlar çeşidlənməlidir (xüsusən də tək məlumatlar üçün). Çeşidləmə olmadan kvartillər/desillər/persentillər mənasızdır.
2. Əgər davamlı anlayışlardan istifadə edirsinizsə, qruplaşdırılmış məlumatlarda sinif sərhədlərindən deyil, sinif kənarlarından istifadə etdiyinizə əmin olun.
3. Kvartil/desil/persentil sinfi yığılmış tezlikdən müəyyən edildiyi üçün kümülatif tezlik düzgün olmalıdır.
4. Sinif uzunluğuna diqqət yetirin (c). Sinif uzunluğu səhv olmamalıdır, çünki bu, hesablama nəticələrinə təsir göstərir.
5. Mövqelər yuvarlaqlaşdırılmadıqda interpolasiya vacibdir. Bir çox tələbə dəqiqliyi azalda bilsə də, mövqeləri dərhal yuvarlaqlaşdırır.
-
6. Nəticə
Kvartillər, desillər və persentillər məlumatların paylanmasını anlamaq üçün vacib statistik vasitələrdir. Kvartillər sadə xülasələr üçün uyğundur (məsələn, qutu qrafikində), desillər gəlir təhlili kimi daha ətraflı qruplaşdırmalar üçün faydalıdır, persentillər isə çox spesifik bir fərdin əhali daxilindəki mövqeyini qiymətləndirməyə kömək edir. Əsas addımları - məlumatları sıralamaq, mövqeyi müəyyən etmək və tək və ya qruplaşdırılmış məlumatlar üçün müvafiq düsturlardan istifadə etməklə - başa düşməklə kvartilləri, desilləri və persentilləri daha dəqiq və inamla hesablaya bilərsiniz.
İstəsəniz, qruplaşdırılmış məlumat cədvəlinin tam bir nümunəsini (interval, tezlik, kümülatif tezlik) əlavə edə və sonra məşq etməyi asanlaşdırmaq üçün Q1, D7 və P85-i ətraflı şəkildə hesablaya bilərəm.
