Awọn iṣẹ lori Awọn nọmba eka
Àwọn nọ́mbà onípele jẹ́ èrò ìṣirò tí ó so àwọn nọ́mbà gidi àti ti àròjinlẹ̀ pọ̀. Wọ́n jẹ́ ìpìlẹ̀ fún ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì, títí bí fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti ìmọ̀ ìṣirò fúnra rẹ̀. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí onírúurú iṣẹ́ tí a lè ṣe lórí àwọn nọ́mbà onípele, títí bí ìfikún, ìyọkúrò, ìsọdipúpọ̀, pípín, àti bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ.
Lílóye Àwọn Nọ́mbà Dídídí
A le kọ gbogbo nọ́mbà onípele-ìpele ní fọ́ọ̀mù \(a+bi\), níbi tí \(a\) àti \(b\) jẹ́ nọ́mbà gidi àti \(i\) jẹ́ ẹ̀rọ onípele-ìpele tí ó tẹ́ \(i^2 = -1\) lọ́rùn. A pe ọ̀rọ̀ náà \(a\) ní apá gidi, nígbàtí \(b\) jẹ́ apá onípele-ì ...
Gẹ́gẹ́ bí ìpele ìpìlẹ̀, a ní:
\[ i^2 = -1 \]
Èyí tí ó túmọ̀ sí \(i\) ni gbòǹgbò onígun mẹ́rin ti -1.
Àfikún àti Ìyọkúrò
A máa ń fi àwọn nọ́mbà onípele méjì kún un, a sì máa ń yọ àwọn apá gidi àti àwọn apá àròjinlẹ̀ kúrò. Ká sọ pé a ní àwọn nọ́mbà onípele méjì \( z_1 = a + bi \) àti \( z_2 = c + di \), lẹ́yìn náà:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i \]
Kókó:
Jẹ́ kí \( z_1 = 3 + 4i \) àti \( z_2 = 1 + 2i \), lẹ́yìn náà:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Isodipupo
Ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ àwọn nọ́mbà onípele-ìpele lo àwọn ìpínkiri gẹ́gẹ́ bí ó ti wà nínú aljebra ṣùgbọ́n ó gba \(i^2 = -1 \) yẹ̀wò. Ká sọ pé \( z_1 = a + bi \) àti \( z_2 = c + di \), lẹ́yìn náà:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Kókó:
Jẹ́ kí \( z_1 = 3 + 4i \) àti \( z_2 = 1 + 2i \), lẹ́yìn náà:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i) (1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Pembagian
Pípín àwọn nọ́mbà onípele-ìpele ni a ń ṣe nípa fífi ìsopọ̀pọ̀ nọ́mbà onípele-ìpele àti onípele-ìpele pọ̀ mọ́ ìsopọ̀pọ̀ nọ́mbà onípele-ì ...
Ká sọ pé \( z_1 = a + bi \) àti \( z_2 = c + di \), lẹ́yìn náà:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \ frac{a + bi}{c + di} \]
A fi àsopọ̀ iyeìdámọ̀ ṣe ìsọdipúpọ̀ rẹ̀:
\[= \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Kókó:
Jẹ́ kí \( z_1 = 3 + 4i \) àti \( z_2 = 1 + 2i \), lẹ́yìn náà:
Àkópọ̀ \( z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \ frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[= \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \ frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
A mọ̀ pé \( i^2 = -1 \):
\[ = \ frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modulu ati Awọn ariyanjiyan
Módùlù nọ́mbà oníṣọ̀kan ni ìjìnnà láti ìbẹ̀rẹ̀ nínú àtẹ́lẹwọ́ oníṣọ̀kan sí ojú tí nọ́mbà oníṣọ̀kan dúró fún. Módùlù nọ́mbà oníṣọ̀kan \( z = a + bi \) ni a ń fihàn gẹ́gẹ́ bí \( |z| \) a sì ń ṣírò rẹ̀ nípa:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Kókó:
Tí \( z = 3 + 4i \), nígbà náà:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Àríyànjiyàn nọ́mbà onípele ni igun tí nọ́mbà onípele náà ṣe pẹ̀lú axis gidi nínú àtẹ́lẹwọ́ onípele náà, a sì sábà máa ń fi hàn nínú radians tàbí degrees.
Fọ́ọ̀mù Polar
A le fi awọn nọ́mbà onípele hàn ní ìrísí pola. Fọ́ọ̀mù yìí sábà máa ń mú kí àwọn ìṣirò tí ó ní agbára àti gbòǹgbò àwọn nọ́mbà onípele rọrùn. A le fi nọ́mbà onípele hàn gẹ́gẹ́ bí:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
níbi tí \( r \) jẹ́ modulus àti \( \theta \) jẹ́ àríyànjiyàn nọ́mbà àkópọ̀.
Àwọn Oníṣẹ́ Ìṣòro Míràn: Ìfọ̀rọ̀wérọ̀ àti Ìmọ̀-ẹ̀rọ Logarithmic
A le ṣe iyipada awọn nọmba eka si fọọmu exponential nipa lilo agbekalẹ Euler:
\[ z = re^{i\theta} \]
níbi tí \(e \) jẹ́ ìpìlẹ̀ logarithm àdánidá, àti \( \theta \) jẹ́ àríyànjiyàn ti \( z \).
Pípín àwọn nọ́mbà onípele wúlò gan-an nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ iṣẹ́, pàápàá jùlọ nínú ìṣàyẹ̀wò Fourier àti àwọn ìyípadà Laplace.
Ipari
Àwọn nọ́mbà onípele jẹ́ irinṣẹ́ pàtàkì kan tí ó wúlò gidigidi láti yanjú onírúurú ìṣòro nínú ìmọ̀ ìṣirò àti sáyẹ́ǹsì. Mímọ àwọn iṣẹ́ ìpìlẹ̀ bí ìfikún, ìyọkúrò, ìsọdipúpọ̀, àti ìpínkiri jẹ́ ìgbésẹ̀ àkọ́kọ́ pàtàkì. Jù bẹ́ẹ̀ lọ, òye àwọn èrò ti modulus, ariyanjiyan, àti ìyípadà sí àwọn fọ́ọ̀mù polar àti exponential mú kí agbára wa láti ṣe àwárí àwọn lílo àwọn nọ́mbà onípele nínú onírúurú pápá.
Nípa lílóye àti lílo àwọn nọ́mbà onípele, a lè yanjú àwọn ìṣòro tí ó lè ṣòro tàbí tí kò ṣeé ṣe láti yanjú nípa lílo àwọn nọ́mbà gidi nìkan. Gẹ́gẹ́ bí irinṣẹ́ onímọ̀-ẹ̀rọ tó lágbára, àwọn nọ́mbà onípele ṣì jẹ́ apá pàtàkì nínú ìwádìí ìṣirò àti ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì títí di òní.
