Ìsọdipúpọ̀ Dótì ní Àwọn Fẹ́kítà
Ọjà Dótì (tí a tún ń pè ní ọjà Dótì tàbí ọjà scalar) jẹ́ ọ̀kan lára àwọn iṣẹ́ pàtàkì jùlọ nínú ìmọ̀ ìṣirò vector. Iṣẹ́ yìí sábà máa ń farahàn nínú fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, statistiki, ìmọ̀ kọ̀mpútà (fún àpẹẹrẹ, ẹ̀kọ́ ẹ̀rọ), àti àwòrán kọ̀mpútà. Láìdàbí ìsọdipúpọ̀ lásán, tí ó ń mú nọ́mbà jáde láti inú nọ́mbà méjì, ọjà Dótì gba àwọn fékìtì méjì gẹ́gẹ́ bí ìtẹ̀síwájú ó sì ń mú scalar jáde (nọ́mbà kan ṣoṣo). Nípasẹ̀ ọjà Dótì, a lè lóye ìbáṣepọ̀ láàrín àwọn fékìtì méjì: yálà wọ́n wà ní ìtọ́sọ́nà kan náà, àwọn ìtọ́sọ́nà òdìkejì, tàbí àwọn tí ó dúró ní ìpele sí ara wọn.
Lílóye Ìsọdipúpọ̀ Dọ́ọ̀tì
Ni gbogbogbo, ti a ba ni awọn fekito meji a ati b , a kọ ọja aami naa bi:
a · b
Àbájáde rẹ̀ ni nọ́mbà scalar kan tí ó ṣàfihàn “iye” vektọ a ní ní ìtọ́sọ́nà kan náà pẹ̀lú vektọ b. A lè lóye èrò yìí nípasẹ̀ àwòrán yìí: nígbà tí a bá ṣe àgbékalẹ̀ vektọ a sí orí vektọ b, a ń wọn iye ti ẹ̀yà a “ń gùn” sí ìtọ́sọ́nà b. Bí àwọn vektọ méjì bá ṣe pọ̀ sí i ní ìtọ́sọ́nà kan náà, bẹ́ẹ̀ náà ni ọjà dot wọn yóò ṣe pọ̀ sí i; bí wọ́n ṣe yàtọ̀ síra tó, bẹ́ẹ̀ náà ni ọjà wọn yóò ṣe kéré sí i (àní òdì); bí wọ́n bá sì jẹ́ onígun mẹ́rin, ọjà dot náà yóò jẹ́ òdo.
Fọ́múlá Ìsọdipúpọ̀ Dótì nípasẹ̀ Àwọn Ẹ̀yà
Ṣe a gbà pé fekito onisẹpo meji kan:
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
Nítorí náà, ìsọdipúpọ̀ àwọn àmì ni:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
Fún àwọn fákítà onípele mẹ́ta:
a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)
Nítorí náà:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Ni gbogbogbo, fun fekito onisẹpo n:
a · b = Σ (aᵢ bᵢ) fún i = 1 sí n.
Fọ́múlá yìí rọrùn síbẹ̀ ó lágbára. A kàn máa ń sọ àwọn ọ̀rọ̀ tó báramu di púpọ̀, lẹ́yìn náà a máa ń fi wọ́n papọ̀. Ìdí nìyí tí a fi ń lo ìlọ́po àmì nínú ìkọ́ǹpútà: ó rọrùn láti lò ó, ó sì ń ṣiṣẹ́ dáadáa.
Fọ́múlá Ìsọdipúpọ̀ Dọ́ọ̀tì pẹ̀lú Igun Láàárín Àwọn Fẹ́kítà
Ní àfikún sí àwọn èròjà, a tún lè fi ọjà àmì hàn ní ìrísí igun (geometric). Tí θ bá jẹ́ igun láàrín àwọn fákítà a àti b, nígbà náà:
a · b = |a| |b| cos(θ)
Alaye:
– |a| ni gígùn (iwọn) ti fekito a
– |b| ni gígùn fekito b
– cos(θ) ni cosine ti igun laarin awọn fekito meji
Fọ́múlá yìí tẹnu mọ́ ìtumọ̀ onígun mẹ́ta: ọjà àmì náà ń wọn “ìtẹ̀lé” àwọn ìtọ́sọ́nà àwọn fíkítà méjì. Nígbà tí θ bá kéré (tó sún mọ́ 0°), cos(θ) sún mọ́ 1, nítorí náà ọjà àmì náà tóbi ó sì dára. Nígbà tí θ = 90°, cos(90°)=0, nítorí náà ọjà àmì náà jẹ́ òdo. Nígbà tí θ > 90°, cos(θ) jẹ́ òdo, nítorí náà ọjà àmì náà jẹ́ òdo.
Àpẹẹrẹ Ìṣirò Ọjà Dẹ́ẹ̀tì
Àpẹẹrẹ 1 (2D Vektor)
Fun apere:
– a = (2, 3)
– b = (4, -1)
Nítorí náà:
a b = 2·4 + 3·(-1) = 8 – 3 = 5
Àbájáde rẹ̀ ni 5 (scalar). Èyí túmọ̀ sí wípé ní gbogbogbòò, ìtọ́sọ́nà vektọ a ṣì ní ìpín kan ní ìtọ́sọ́nà kan náà bíi b, bó tilẹ̀ jẹ́ pé ọ̀kan lára àwọn ìpín náà lòdì sí ara wọn.
Àpẹẹrẹ 2 (Pípéńdíọ̀mù)
Fun apere:
– a = (1, 2)
– b = (2, -1)
Aami:
a b = 1·2 + 2·(-1) = 2 – 2 = 0
Nítorí pé ọjà àmì náà jẹ́ 0, àwọn fákítà méjèèjì náà jẹ́ onígun mẹ́rin (orthogonal).
Àwọn Ànímọ́ Ìsọdipúpọ̀ Dọ́ọ̀tì
Ìsọdipúpọ̀ àwọn àmì ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ànímọ́ pàtàkì:
1. Ìrìnàjò
a · b = b · a
2. Pínpín sí àfikún
a · (b + c) = a · b + a · c
3. Ìbáṣepọ̀ pẹ̀lú ìsọdipúpọ̀ onípele
(ka) · b = k (a · b) fún ìwọ̀n k
4. Ọjà Dot pẹ̀lú vektọ odo
a · 0 = 0
5. Ìbáṣepọ̀ pẹ̀lú gígùn fekito
a · a = |a|²
Èyí wúlò gan-an nítorí láti ibi ni a ti le rí gígùn fekito náà:
|a| = √(a · a)
Àwọn ànímọ́ wọ̀nyí mú kí ọjà àmì náà jẹ́ iṣẹ́ pàtàkì nínú aljebra linear tí ó gbé ka orí ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn èrò tó ti ní ìlọsíwájú.
Ìtumọ̀ àti Ìtumọ̀ Jẹ́ẹ́mẹ́trìkì
A le tumọ ọja aami naa si iwọn asọtẹlẹ. Ti a ba fẹ mọ asọtẹlẹ vektọ a si itọsọna b, a le lo ọja aami naa. Apakan vektọ a ni itọsọna kanna bi b ni a le gba ni iwọn nipasẹ:
Ìṣàfihàn ìwọ̀n ti a sí b:
comp_b(a) = (a · b) / |b|
Ìfihàn fekito a sí b:
proj_b(a) = ((a · b) / |b|²) b
Ìtumọ̀ yìí wúlò gan-an, fún àpẹẹrẹ nígbà tí a bá ń ṣírò òjìji agbára kan ní ìtọ́sọ́nà kan tàbí nígbà tí a bá ń pín ìṣípò sí àwọn ohun èlò tí ó wà ní ìpele àti ní inaro.
Lilo Isọdipupo Dot ninu Igbesi aye ati Imọ-jinlẹ
1. Físíìsì (Iṣẹ́ àti Agbára)
Nínú fisiksi, iṣẹ́ nípa agbára ni a túmọ̀ sí:
W = F · s = |F||s|cos(θ)
níbi tí F jẹ́ agbára àti s jẹ́ ìyípadà. Tí agbára bá wà ní ọ̀nà kan náà pẹ̀lú ìyípadà, iṣẹ́ náà jẹ́ rere; tí ó bá wà ní ọ̀nà òdìkejì, iṣẹ́ náà jẹ́ odi; tí ó bá jẹ́ ìdúró-pípẹ́ńdì (fún àpẹẹrẹ, agbára déédé lórí ọkọ̀ òfurufú), iṣẹ́ náà jẹ́ odo.
2. Pípín igun láàrin àwọn vektọ
Tí a bá mọ a · b , |a|, àti |b|, a lè ṣírò igun θ:
cos(θ) = (a · b) / (|a||b|)
Lẹ́yìn náà, a lè rí θ pẹ̀lú iṣẹ́ cosine onídàkejì (arccos).
3. Ẹ̀kọ́ Ẹ̀rọ àti Ìmọ̀ Ìjìnlẹ̀ Dátà
A lo ọjà àmì náà láti ṣírò àmì tàbí ìbáradọ́gba láàrín àwọn fítírò ẹ̀yà méjì. Nínú àwọn àwòṣe ìlà, àsọtẹ́lẹ̀ náà sábà máa ń gba ìrísí:
y = w · x + b
níbi tí w jẹ́ ìwọ̀n àti x jẹ́ vektọ ìtẹ̀síwájú. Ọjà àmì níbí ni àárín gbùngbùn ètò ìpinnu.
4. Àwòrán Kọ̀mpútà (Ìmọ́lẹ̀)
Nínú ìṣàfihàn 3D, a lo ọjà àmì láti pinnu agbára ìmọ́lẹ̀ lórí ojú ilẹ̀ kan. Líle koko máa ń sinmi lórí cosine ti igun láàárín ìtọ́sọ́nà ìmọ́lẹ̀ àti ojú ilẹ̀ náà déédé. Pẹ̀lú ọjà àmì, ìṣirò náà yóò di:
Mo ∝ n · l
pẹ̀lú n ojú ilẹ̀ déédé àti l ìtọ́sọ́nà ìmọ́lẹ̀ (tí a sábà máa ń ṣe déédé).
Àṣìṣe Tó Wà Lára Láti Yẹra Fún
Àwọn àṣìṣe díẹ̀ tí ó wọ́pọ̀ nígbà tí a bá ń kọ́ àwọn ọjà àmì:
– Ríronú pé àbájáde ọjà àmì-ẹ̀yẹ jẹ́ vektọ (nígbà tí ó jẹ́ scalar ní gidi).
– Ìsopọ̀ ẹ̀yà tí kò tọ́ (gbọ́dọ̀ jẹ́ àwọn ẹ̀yà tí ó báramu).
– Mo gbàgbé pé ọjà àmì lè jẹ́ òdì.
– Lilo awọn agbekalẹ igun laisi idaniloju pe fekito ti a lo ati iwọn ti a ṣe iṣiro jẹ deede.
– Àìlóye pé ọjà àmì òdo túmọ̀ sí ìdúró-pípẹ́ńdì (èyí jẹ́ òótọ́), ṣùgbọ́n kìkì tí àwọn àmì méjèèjì kò bá jẹ́ ìdúró-pípẹ́ńdì.
Penutup
Àkójọ àmì-ẹ̀yẹ ti àwọn vektọ jẹ́ èrò pàtàkì kan tí ó so aljebra àti geometry pọ̀. Pẹ̀lú àkójọ àmì-ẹ̀yẹ, a kò le ṣírò iye àwọn vektọ méjì nìkan, ṣùgbọ́n a tún le lóye ìbáṣepọ̀ ìtọ́sọ́nà láàrín wọn: yálà wọ́n wà ní ìtọ́sọ́nà kan náà, àwọn ìtọ́sọ́nà òdìkejì, tàbí àwọn orthogonal. Àgbékalẹ̀ rẹ̀ tí ó rọrùn mú kí ó rọrùn láti lò nínú ìṣirò ọwọ́ àti àwọn ìṣirò ńlá. Nítorí ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò rẹ̀ ní onírúurú ẹ̀ka—láti inú fisiksi àti ìṣàyẹ̀wò dátà sí àwọn àwòrán kọ̀ǹpútà—lílóye ọjà àmì-ẹ̀yẹ jẹ́ ìgbésẹ̀ pàtàkì fún ẹnikẹ́ni tí ó ń kẹ́kọ̀ọ́ mathimatiki vektọ àti aljebra linear.
Tí o bá fẹ́, mo tún lè fi àwọn àwòrán kún un, kí n ṣe àwọn ìbéèrè pẹ̀lú àlàyé, tàbí kí n ṣe àtúnṣe àpilẹ̀kọ náà tó dá lórí ohun èlò pàtó kan (físíìsì, ẹ̀kọ́ ẹ̀rọ, tàbí àwòrán).
