Ọna Wiwa Gbongbo Newton Raphson
Pendahuluan
Ọ̀nà Newton-Raphson jẹ́ ọ̀nà nọ́mbà tó gbéṣẹ́ láti rí àwọn ìdáhùn tó súnmọ́ sí àwọn ìdọ́gba tí kì í ṣe línárì. Isaac Newton ló kọ́kọ́ ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀, lẹ́yìn náà Joseph Raphson tún un ṣe. Nínú ìmọ̀ ìṣirò àti kọ̀ǹpútà, ọ̀nà Newton-Raphson jẹ́ ọ̀nà àtúnṣe tí a ń lò láti rí gbòǹgbò iṣẹ́ gidi kan.
Tẹ̀síwájú láti ka àpilẹ̀kọ yìí láti lóye àwọn ìlànà ìpìlẹ̀ ọ̀nà Newton-Raphson, àwọn ìgbésẹ̀ rẹ̀ ní kíkún, bí a ṣe lò ó ní onírúurú ọ̀ràn, àti àwọn àǹfààní àti àléébù rẹ̀.
Àwọn Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ọ̀nà Newton-Raphson
Ní pàtàkì, ọ̀nà Newton-Raphson ní èrò láti ṣe ìṣirò gbòǹgbò ìṣètò `f(x) = 0`. Ọ̀nà yìí bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ìṣirò àkọ́kọ́ ti `x0`. Láti ibi yìí, a rí ìṣirò tó dára jù nípa lílo àbájáde iṣẹ́ náà.
Ní ti ìṣirò, a máa ń fi ọ̀nà Newton-Raphson hàn nípa lílo àwọn fọ́múlá wọ̀nyí:
\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Mo ṣe é:
– \( x_{n+1} \) ni aaye ti a ṣe iṣiro ti o tẹle.
– \( x_n \) ni aaye iṣiro lọwọlọwọ.
– \( f(x_n) \) ni iye iṣẹ́ tó wà lórí \( x_n \).
– \( f'(x_n) \) ni iye ti itọsẹ ti iṣẹ lori \( x_n \).
A gbé àgbékalẹ̀ náà kalẹ̀ lórí ìfàmọ́ra ìlà ti iṣẹ́ dídíjú kan, níbi tí a ti gba ìfàmọ́ra ìlà yìí gẹ́gẹ́ bí ìlà tangent ní ojú ìfàmọ́ra lọ́wọ́lọ́wọ́. Lẹ́yìn náà, ìlà tangent yìí pèsè ìdènà x kan tí yóò jẹ́ ìfàmọ́ra tó dára jù fún gbòǹgbò ní ìtẹ̀síwájú tó tẹ̀lé e.
Awọn igbesẹ Newton-Raphson
Àwọn ìgbésẹ̀ pàtàkì nínú ọ̀nà Newton-Raphson nìyí:
1. Yan Ìṣirò Àkọ́kọ́: Bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú iye àkọ́kọ́ \( x_0 \). Iye àkọ́kọ́ tí a yàn yóò ní ipa púpọ̀ lórí ìdàpọ̀ ọ̀nà yìí.
2. Ṣàyẹ̀wò Àwọn Iṣẹ́ àti Àwọn Ìtọ́sọ́nà Wọn: Ṣírò iye iṣẹ́ àti iye ìtọ́sọ́nà iṣẹ́ ní ojú ìwé \( x_n \).
3. Ṣírò Ìṣirò Tó Tẹ̀lé: Lo àgbékalẹ̀ Newton-Raphson láti gba iye ìṣirò tó tẹ̀lé \( x_{n+1} \).
4. Ṣàyẹ̀wò fún Ìbáṣepọ̀: Ṣàyẹ̀wò bóyá iye tí a ṣírò ti \( x_{n+1} \) sún mọ́ gbòǹgbò gidi nípa lílo ìlànà ìdádúró, bíi:
– Ìyípadà pípé láàrín àwọn àtúnṣe méjì \( |x_{n+1} – x_n| \) kéré.
– Iye iṣẹ́ ní ojú ibi tí ó súnmọ́ òdo \( |f(x_{n+1})| \) kéré.
5. Tún ṣe é: Tí a kò bá mú àwọn ìlànà ìdúró náà ṣẹ, padà sí ìgbésẹ̀ 2 nípa fífi \( x_{n+1} \ rọ́pò \( x_n \)).
Ilana atunṣe yii n tẹsiwaju titi ti a fi ri ojutu to peye.
Àwọn Àpẹẹrẹ ti Àwọn Ohun tí Newton-Raphson Lò
Ẹ jẹ́ kí a lo ọ̀nà yìí fún àpẹẹrẹ pàtó kan. Ká sọ pé a fẹ́ wá gbòǹgbò ìfojúsùn \( f(x) = x^2 – 2 \).
Igbesẹ 1: Iṣiro Ibẹrẹ
Ká sọ pé a bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú \( x_0 = 1 \).
Igbesẹ 2: Ṣe ayẹwo Iṣẹ naa ati Awọn itọsẹ Rẹ
Iṣẹ́ náà \( f(x) = x^2 – 2 \) àti àbájáde iṣẹ́ náà \( f'(x) = 2x \).
Ìṣàyẹ̀wò ní \( x_0 = 1 \):
– \( f(x_0) = 1^2 – 2 = -1 \)
– \( f'(x_0) = 2 \igba 1 = 2 \)
Igbesẹ 3: Ṣe iṣiro Iṣiro ti o tẹle
Lilo agbekalẹ Newton-Raphson:
\[ x_{1} = 1 – \frac{-1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5 \]
Igbese 4: Ṣayẹwo fun Ibamu
Ṣàyẹ̀wò ìyípadà pípé àti iye iṣẹ́:
– \( |x_1 – x_0| = |1.5 – 1| = 0.5 \)
– \( |f(1.5)| = |1.5^2 – 2| = |2.25 – 2| = 0.25 \)
A tẹ̀síwájú sí àtúnṣe tó tẹ̀lé nítorí pé a kò tíì mú àwọn ìlànà náà ṣẹ.
Igbesẹ 5: Tun ṣe
Ìṣàyẹ̀wò ní \( x_1 = 1.5 \):
– \( f(x_1) = 1.5^2 – 2 = 0.25 \)
– \( f'(x_1) = 2 \igba 1.5 = 3 \)
Lílo àgbékalẹ̀ Newton-Raphson lẹ́ẹ̀kan síi:
\[ x_2 = 1.5 – \frac{0.25}{3} = 1.5 – 0.0833 = 1.4167 \]
Ṣàyẹ̀wò ìyípadà pípé àti iye iṣẹ́:
– \( |x_2 – x_1| = |1.4167 – 1.5| = 0.0833 \)
– \( |f(1.4167)| = |1.4167^2 – 2| \nnọ́ńbà 0.0069 \)
Nítorí pé àtúnṣe náà kò tíì pé tó, a ó máa tẹ̀síwájú títí tí a ó fi mú àwọn ìlànà ìdádúró náà ṣẹ.
Ilana yii yoo tẹsiwaju titi ti a fi de adehun naa.
Àwọn Àǹfààní àti Àléébù ti Ọ̀nà Newton-Raphson
Ti o pọju
1. Iyara Iṣọkan: Ọna Newton-Raphson ni iyara iṣọkan mẹrin, eyi ti o tumọ si pe iye awọn ilọsipo ti a nilo lati sunmọ gbongbo kere pupọ ni akawe pẹlu awọn ọna miiran bii ọna bisection tabi ọna secant.
2. Ìpéye: Ọ̀nà yìí sábà máa ń péye jù ní wíwá àwọn gbòǹgbò tí ìṣirò àkọ́kọ́ bá sún mọ́ gbòǹgbò tòótọ́.
3. Lílò fún gbogbogbò: A lè lò ó fún onírúurú iṣẹ́, àti polynomial àti non-polynomial.
Aini
1. Ìgbẹ́kẹ̀lé Àwọn Ìwọ̀n Àkọ́kọ́: Àbájáde ìkẹyìn sinmi lórí iye ìṣirò àkọ́kọ́. Tí ìṣirò náà bá jìnnà sí gbòǹgbò rẹ̀, ọ̀nà náà lè kùnà tàbí kí ó nílò ọ̀pọ̀ àtúnṣe.
2. A gbọ́dọ̀ mọ̀ nípa àtúnṣe: Ọ̀nà yìí nílò ṣíṣírò àtúnṣe iṣẹ́ náà, èyí tí ó lè ṣòro tàbí tí kò ṣeé ṣe fún àwọn iṣẹ́ dídíjú kan.
3. Kò lágbára: Ọ̀nà yìí kì í sábà jọ ara wọn. Àwọn ipò pàtàkì kan wà tí ọ̀nà yìí lè kùnà, bíi bóyá iṣẹ́ náà ní ojú ìwòye pàtàkì tàbí ìyípadà pàtàkì nínú àtúnṣe.
Ipari
Ọ̀nà Newton-Raphson jẹ́ irinṣẹ́ alágbára nínú ìṣiṣẹ́ nọ́mbà tí ó fún wa láyè láti rí gbòǹgbò ìṣètò tí kì í ṣe línéètì ní kíákíá àti ní ìbámu. Síbẹ̀síbẹ̀, gẹ́gẹ́ bí gbogbo ọ̀nà nọ́mbà, ó ní àwọn ààlà àti ipò tí ó lè má ṣiṣẹ́ dáadáa. Òye pípéye nípa àwọn iṣẹ́ àti àwọn àbájáde, àti yíyan àwọn iye àkọ́kọ́ tí ó yẹ, jẹ́ pàtàkì láti lo ọ̀nà yìí ní àṣeyọrí.
Pẹ̀lú òye àti ìlò tó péye, ọ̀nà Newton-Raphson lè jẹ́ ojútùú tó gbéṣẹ́ sí onírúurú ìṣòro wíwá gbòǹgbò nínú ìmọ̀ ìṣirò àti ìmọ̀ kọ̀ǹpútà.
