Lilo Awọn Fọọmu Apọju
Fọ́múlá onípele jẹ́ èrò ìṣirò tí ó máa ń farahàn ní gbogbo ìgbà ní ìgbésí ayé ojoojúmọ́, bó tilẹ̀ jẹ́ pé a kìí sábà mọ̀ ọ́n. Nígbà tí a bá ń sọ̀rọ̀ nípa ìdàgbàsókè iye ènìyàn, àfikún èlé lórí àkọọ́lẹ̀ ìfowópamọ́, ìtànkálẹ̀ àwọn kòkòrò àrùn, ìbàjẹ́ àwọn ohun olóró oní-nọ́ńbà, àti ìdàgbàsókè àwọn olùlò ohun èlò oní-nọ́ńbà, gbogbo ìwọ̀nyí ni a lè ṣe àwòkọ́ṣe nípa lílo àpẹẹrẹ kan náà: àwọn àyípadà tí ó “ń pọ̀ sí i” lórí àkókò. Àpẹẹrẹ yìí ni ànímọ́ pàtàkì ti àwọn ohun olóró. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò ìtumọ̀ fọ́múlá onípele, ìrísí gbogbogbò rẹ̀, bí a ṣe lè lò ó, pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ ìlò àti àmọ̀ràn fún yíyẹra fún àwọn àṣìṣe ìṣirò.
1. Kí ni exponential?
Ní ṣókí, ìpèníjà jẹ́ irú ìṣirò kan tí ó ní agbára nínú. Tí a bá kọ \(a^n\), a máa ń pe \(a\) ní ìpìlẹ̀ àti \(n\) ni a ń pè ní olùgbéjáde tàbí agbára. Àpẹẹrẹ kan tí ó rọrùn: \(2^3 = 8\), èyí tí ó túmọ̀ sí wípé 2 ni a fi ṣe ìlọ́po mẹ́ta fúnrarẹ̀: \(2 \ìgbà 2 \ìgbà 2\).
Sibẹsibẹ, ninu ọrọ ti a fi n ṣe apẹẹrẹ, “agbekalẹ onipin” maa n tọka si iṣẹ kan ti iye rẹ n pọ si tabi dinku nipasẹ ifosiwewe ti a fi idi mulẹ lori akoko kan. Fun apẹẹrẹ, nọmba ti o n pọ si ni deede nipasẹ 10% ni ọdun kọọkan tumọ si pe iye rẹ ni a npọ si nipasẹ 1,10 ni ọdun kọọkan. Eyi jẹ apẹrẹ onipin—kii ṣe ilosoke nipasẹ iye ti a fi idi mulẹ, ṣugbọn nipasẹ ogorun ti a fi idi mulẹ.
2. Fọ́ọ̀mù gbogbogbò ti fọ́múlá onípele-ọ̀rọ̀
Àwọn ọ̀nà méjì ló wà tí a sábà máa ń lò fún àwọn fọ́ọ̀mù onípele méjì:
1) Ìdàgbàsókè/ìbàjẹ́ lẹ́sẹẹsẹ (da lori akoko kan pato)
\[
N(t) = N_0 \igba a^t
\]
Alaye:
– \(N(t)\): iye ní àkókò \(t\)
– \(N_0\): iye àkọ́kọ́
– \(a\): ifosiwewe isodipupo fun akoko kọọkan (fun apẹẹrẹ 1,10 fun ilosoke 10%; 0,90 fun idinku 10%)
– \(t\): iye awọn akoko (fun apẹẹrẹ ọdun, oṣu, awọn ọjọ)
2) Ìdàgbàsókè/ìbàjẹ́ tó ń bá a lọ (àwòṣe ìwọ̀n tó ń bá a lọ)
\[
N(t) = N_0 \igba e^{rt}
\]
Alaye:
– \(e\) ni nọ́mbà Euler (tó fẹ́rẹ̀ẹ́ tó 2,71828)
– \(r\) oṣuwọn idagbasoke ti nlọ lọwọ (le jẹ rere fun idagbasoke, odi fun idinku)
– \(t\) akoko
Nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ọ̀ràn ilé-ẹ̀kọ́ tàbí àwọn lílo ohun èlò tó rọrùn, fọ́ọ̀mù aláìlẹ́gbẹ́ \(N(t)=N_0 a^t\) tó. A sábà máa ń lo fọ́ọ̀mù tó ń tẹ̀síwájú nínú ìwádìí tó jinlẹ̀, fún àpẹẹrẹ nínú àwòṣe ìṣirò, fisiksi, tàbí àgbékalẹ̀ àjàkálẹ̀-àrùn.
3. Àwọn ìgbésẹ̀ láti lo fọ́múlá onípele-ẹ̀rọ
Lati yago fun idamu, tẹle awọn igbesẹ wọnyi nigbati o ba n ṣiṣẹ lori awọn iṣoro exponential:
1) Pinnu iye ibẹrẹ ti \(N_0\)
Iye yii ni a n pe ni ibẹrẹ akiyesi naa (ọdun 1, ọjọ 0, ati bẹẹ bẹẹ lọ).
2) Ṣe ìdámọ̀ bóyá ìdàgbàsókè tàbí ìbàjẹ́ ni.
– Ìdàgbàsókè: iye tí ó ń pọ̀ sí i (okùnfà \(a > 1\) tàbí \(r>0\))
– Ìbàjẹ́: iye náà máa ń dínkù (ìdíwọ̀n \(0)
5) Ṣírò àbájáde náà Lo ẹ̀rọ ìṣirò tí olùṣàfihàn bá tóbi tàbí tí ó ní àwọn ẹ̀ka-ìdíwọ̀n. 4. Àpẹẹrẹ ìlò ìdàgbàsókè onípele. Àpẹẹrẹ 1: Èrè onípele onírọrùn. Ẹnìkan ń fi Rp. 5.000.000 pamọ́ pẹ̀lú ìwọ̀n èlé ti 8% fún ọdún kan, a ó san èlé náà a ó sì fi kún ìwọ̀n náà ní òpin ọdún kọ̀ọ̀kan (èlé onípele). Kí ni ìwọ̀n náà lẹ́yìn ọdún márùn-ún? Fúnni ní: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) Fọ́múlá: \[ N(5) = 5.000.000 \igba (1,08)^5 \] Iye \((1,08)^5 \ibaramu 1,4693\) Nítorí náà: \[ N(5) \ibaramu 5.000.000 \igba 1,4693 = 7.346.500 \] Díwọ̀n tó nǹkan bí Rp7.346.500 (ó sinmi lórí bí a ṣe ń yí i ká). Àpẹẹrẹ 2: Ìdàgbàsókè olùlò ohun èlò Ohun èlò kan ní àwọn olùlò 20.000. Iye àwọn olùlò ń pọ̀ sí i ní 25% fún oṣù kan. Àwọn olùlò mélòó ni yóò wà lẹ́yìn oṣù mẹ́fà? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[N(6) = 20.000 \igba 1,25^6 \] Láti ìgbà \(1,25^6 \ibi 3,8147\), lẹ́yìn náà: \[N(6) \ibi 20.000 \igba 3,8147 = 76.294 \] Nítorí náà, àwọn olùlò jẹ́ nǹkan bí 76.294 lẹ́yìn oṣù mẹ́fà. 5. Àpẹẹrẹ lílo ìbàjẹ́ exponential Àpẹẹrẹ 3: Ìdínkù owó ọjà (ìdínkù owó ọjà) Alùpùpù kan tó níye Rp. 18.000.000 ní ìrírí ìdínkù owó ọjà tó jẹ́ 12% lọ́dún. Kí ni ìníyelórí rẹ̀ lẹ́yìn ọdún mẹ́rin? - \(N_0 = 18.000.000\) - dínkù sí 12% → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \igba 0,88^4 \] Láti ìgbà \(0,88^4 \ibi 0,5997\), lẹ́yìn náà: \[ N(4) \ibi 18.000.000 \igba 0,5997 = 10.794.600 \] Iye náà jẹ́ bíi Rp10.794.600. Àpẹẹrẹ 4: Ìbàjẹ́ ohun kan. Ká sọ pé ohun kan dínkù sí 5% ní gbogbo wákàtí. Tí ó bá jẹ́ 200 giramu ní àkọ́kọ́, iye wo ló kù lẹ́yìn wákàtí 10?
- \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \igba 0,95^{10} \] Láti \(0,95^{10} \ibaamu 0,5987\): \[ N(10)\ibaamu 200 \igba 0,5987 = 119,74 \] Ó kù tó nǹkan bíi 119,74 giramu. 6. Pípín àkókò (wíwá \(t\)) pẹ̀lú logarithms Nígbà míì ìbéèrè kìí ṣe iye ìkẹyìn, ṣùgbọ́n “bí ó ṣe pẹ́ tó”. Fún èyí, a nílò logarithms. Tí: \[ N(t) = N_0 a^t \] nígbà náà: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] Mu àkọsílẹ̀ náà: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] Àpẹẹrẹ kíákíá: Ìfowópamọ́ máa ń pọ̀ sí i ní 10% fún ọdún kan. Ìgbà wo ni yóò di ìlọ́po méjì? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] Nítorí náà, ní nǹkan bí ọdún 7,27. 7. Àwọn àṣìṣe tó wọ́pọ̀ nígbà tí a bá ń lo àwọn fọ́múlá exponential 1) Àìtọ́ yí àwọn ìpíndọ́gba padà sí àwọn okùnfà 10% dípò 0,10 gẹ́gẹ́ bí olùpìlẹ̀ pàtàkì, ṣùgbọ́n sí 1,10 fún ìdàgbàsókè. 2) Awọn iwọn akoko ti ko tọ Ti ipin ogorun naa ba jẹ fun oṣu kan, maṣe lo \(t\) ni awọn ọdun laisi iyipada. 3) Ṣiṣe aṣiṣe idagbasoke exponential fun idagbasoke laini Linear ṣafikun "iye ti o wa titi," fun apẹẹrẹ, +5 ni akoko kọọkan. Exponential ṣafikun "ogorun ti o wa titi," nitorinaa ilosoke naa n pọ si ni akoko. 4) Yika ni kutukutu Gbiyanju lati fipamọ awọn nọmba kan ni aarin iṣiro naa, yi wọn ka ni opin. 8. Ipari Lilo awọn agbekalẹ exponential ṣe iranlọwọ fun wa lati loye awọn iṣẹlẹ ti o yipada ni ilodi pupọ lori akoko. Nipa mimọ iye akọkọ \(N_0\), ṣiṣe ipinnu ifosiwewe idagbasoke/idibajẹ \(a\), ati akoko \(t\), a le sọ asọtẹlẹ awọn iye ọjọ iwaju tabi ṣe iṣiro bi yoo ṣe pẹ to lati ṣaṣeyọri ibi-afẹde kan. Fọọmu yii ṣe pataki pupọ ninu eto-ọrọ aje, imọ-ẹrọ, imọ-ẹrọ, ati ọpọlọpọ awọn apakan ti igbesi aye gidi. Koko pataki ni ibamu awọn iwọn ati deede ni yiyipada awọn ogorun si awọn ifosiwewe. Ni kete ti o ba ti mọ awọn ipilẹ, awọn iṣoro exponential yoo rọrun pupọ ati pe yoo ni oye. Tí o bá fẹ́, mo lè fi àwọn ìṣòro ìdánrawò àti àlàyé kún un, tàbí kí n ṣe àtúnṣe àpilẹ̀kọ yìí fún àwọn ọmọ ilé-ẹ̀kọ́ alákọ̀ọ́bẹ̀rẹ̀, àárín, tàbí ilé-ẹ̀kọ́ gíga.
