Àjọpọ̀, Modulus, àti Àríyànjiyàn nípa Àwọn Nọ́mbà Àkópọ̀ àti Àwọn Ohun-ìní Wọn
Pendahuluan
Àwọn nọ́mbà onípele jẹ́ èrò ìṣirò tí a gbé kalẹ̀ láti mú kí òye àwọn nọ́mbà gbòòrò síi. Nínú ayé gidi, ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìfojúsùn ló wà, bíi \(x^2 + 1 = 0\), tí kò ní ìdáhùn kankan. Síbẹ̀síbẹ̀, pẹ̀lú àwọn nọ́mbà onípele, a lè rí àwọn ìdáhùn sí irú àwọn ìfojúsùn bẹ́ẹ̀. Àwọn nọ́mbà onípele wúlò ní onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì, títí kan ìmọ̀ ẹ̀rọ iná mànàmáná, fisiksi kuantum, àti ìmọ̀ ìṣàkóso.
Nọ́mbà onípele méjì ni ó ní: apá gidi àti apá àròjinlẹ̀. Fọ́ọ̀mù gbogbogbòò ti nọ́mbà onípele kan ni \(a + bi\), níbi tí \(a\) àti \(b\) jẹ́ nọ́mbà gidi, àti \(i\) jẹ́ ẹ̀yọ àròjinlẹ̀ pẹ̀lú ohun ìní \(i^2 = -1\). Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò àpapọ̀ àwọn nọ́mbà onípele, modulus, àríyànjiyàn, àti díẹ̀ lára àwọn ohun ìní pàtàkì wọn.
Àpapọ̀ àwọn Nọ́mbà Àkópọ̀
A túmọ̀ ìsopọ̀ nọ́mbà onípele \(z = a + bi\) gẹ́gẹ́ bí nọ́mbà onípele tí ó ní apá gidi kan náà gẹ́gẹ́ bí \(z\) ṣùgbọ́n apá àròjinlẹ̀ ti àmì òdìkejì. A sábà máa ń pe ìsopọ̀ \(z\) ní \(\overline{z}\). Nítorí náà, tí \(z = a + bi\), nígbà náà ìsopọ̀ \(z\) ni \(\overline{z} = a – bi\).
Àwọn Ohun Ànímọ́ Àpapọ̀
1. Ìsopọ̀pọ̀ jẹ́ ohun tí a fẹ́ ṣe: Gbígbé ìsopọ̀pọ̀pọ̀ ti ìsopọ̀pọ̀pọ̀ náà yóò mú nọ́mbà ìṣọ̀kan náà jáde fúnra rẹ̀.
\[
\overline{\overline{z}} = z
\]
2. Àfikún àti Ìyọkúrò: Ìṣọ̀kan pín àwọn iṣẹ́ ìfikún àti ìyọkúrò.
\[
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
\]
\[
\overline{z_1 – z_2} = \overline{z_1} – \overline{z_2}
\]
3. Ìsọdipúpọ̀: Àdàpọ̀ ọjà àwọn nọ́mbà onípele méjì jẹ́ àbájáde àwọn ìsopọ̀ àwọn nọ́mbà onípele wọ̀nyẹn.
\[
\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
\]
4. Pínpín: Àdàpọ̀ àbájáde pípín àwọn nọ́mbà onípele méjì jẹ́ àbájáde pípín àwọn adàpọ̀ àwọn nọ́mbà onípele wọ̀nyẹn.
\[
\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
\]
5. Iye Apapọ ati Ọja Apapo: Iye apapọ ti nọmba eka \(z\) dọgba pẹlu gbongbo onigun mẹrin ti ọja ti nọmba yẹn ati ajọpọ rẹ.
\[
|z|^2 = z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2
\]
Modulusi Nọ́mbà Àkópọ̀
Módùlù nọ́mbà oníṣọ̀kan \(z = a + bi\) ni gígùn tàbí ìjìnnà nọ́mbà oníṣọ̀kan láti orísun (0,0) nínú ìpele oníṣọ̀kan. A ń pe Módùlù ti \(z\) ní \(|z|\) a sì ń ṣírò rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Àwọn Ohun Èlò Modulu
1. Àìsí-à ...
\[
|z| \geq 0
\]
2. Modulus àti Conjugate: Modulus ti \(z\) àti \(\overline{z}\) jọra.
\[
|z| = |\overline{z}|
\]
3. Módùlù Ìsọdipúpọ̀: Módùlù ti ọjà àwọn nọ́mbà onípele méjì jẹ́ àbájáde módùlù ti àwọn nọ́mbà onípele wọ̀nyẹn.
\[
|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|
\]
4. Módùlù Pínpín: Módùlù ìṣọ̀kan àwọn nọ́mbà oníṣọ̀kan méjì ni ìpín ti módùlù àwọn nọ́mbà oníṣọ̀kan wọ̀nyẹn.
\[
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad \text{conditionally} \quad z_2 \neq 0
\]
5. Onígun mẹ́ta: Módùlù náà tẹ́ àìdọ́gba onígun mẹ́ta lọ́rùn.
\[
|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|
\]
Àwọn Àríyànjiyàn Nọ́mbà Dídídí
Àríyànjiyàn nọ́mbà onípele \(z = a + bi\) ni igun tí nọ́mbà onípele ṣe pẹ̀lú axis gidi (axis-x) nínú plane complex. A sábà máa ń pe ariyanjiyan \(z\) náà ní \(\arg(z)\) àti pé iye rẹ̀ wà ní interval \((- \pi, \pi]\). A ṣírò ariyanjiyan náà nípa lílo iṣẹ́ trigonometric arc-tangent:
\[
\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\ọtun)
\]
Sibẹsibẹ, o ṣe pataki lati ṣe akiyesi pe a gbọdọ fiyesi si awọn ami ti \(a\) ati \(b\) lati pinnu quadranti ti nọmba eka naa wa.
Ìwà Àríyànjiyàn
1. Àròpọ̀ Àríyànjiyàn: Fún àwọn nọ́mbà méjì tó díjú, àríyànjiyàn ọjà wọn ni àròpọ̀ àríyànjiyàn wọn.
\[
\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)
\]
tí ó bá jẹ́ pé àwọn àbájáde náà wà láàrín ìwọ̀n tó yẹ.
2. Ìyọkúrò Àwọn Àríyànjiyàn: Àríyànjiyàn ti ìpíndọ́gba àwọn nọ́mbà méjì jẹ́ ìyàtọ̀ àwọn àríyànjiyàn wọn.
\[
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) – \arg(z_2)
\]
3. Àríyànjiyàn àti Àjọpọ̀: Àríyànjiyàn ti àjọpọ̀ nọ́mbà onípele kan jẹ́ odi ti àríyànjiyàn ti nọ́mbà onípele kan.
\[
\arg(\overline{z}) = -\arg(z)
\]
4. Fọ́ọ̀mù Polar: A lè fi nọ́mbà onípele \(z\) hàn ní ìrísí polar gẹ́gẹ́ bí \(z = |z| e^{i \theta}\), níbi tí \(\theta = \arg(z)\).
Ipari
Àwọn èrò ìṣọ̀kan, modulus, àti àríyànjiyàn jẹ́ àwọn èrò ìpìlẹ̀ nínú àwọn nọ́mbà oníṣọ̀kan. Àríyànjiyàn náà fúnni ní ojú ìwòye oníṣọ̀kan ti àwọn nọ́mbà oníṣọ̀kan, nígbàtí modulus àti àríyànjiyàn náà pèsè àfihàn oníṣọ̀kan tí ó ṣe kedere nínú ìpele oníṣọ̀kan. Àwọn ànímọ́ ti conjugate, modulus, àti àríyànjiyàn ní àwọn ìlò tí ó gbòòrò ní onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì, tí ó sọ àwọn nọ́mbà oníṣọ̀kan di ohun èlò ìṣirò tí ó lágbára àti tí ó wúlò. Nípa lílóye àwọn ànímọ́ wọ̀nyí, a lè túbọ̀ ṣe àwárí ayé oníṣọ̀kan àti àwọn ìlò rẹ̀ ní ayé gidi.
