Riemann Sum: Ọ̀kan lára àwọn òpó ti Integral Calculus
Nínú ìmọ̀ ìṣirò, pàápàá jùlọ nínú ìṣirò ìṣirò tó péye, èrò ti Riemann sum kó ipa pàtàkì. Gẹ́gẹ́ bí Bernhard Riemann, onímọ̀ ìṣirò ará Germany tó gbajúmọ̀ ṣe gbé e kalẹ̀, ọ̀nà yìí jẹ́ ọ̀nà pàtàkì láti ṣàlàyé ìṣọ̀kan iṣẹ́ kan láàárín àkókò kan. Lílóye iye Riemann jẹ́ kí a lè ṣe ìṣirò agbègbè tó wà lábẹ́ ìlà kan, èyí tó jẹ́ lílò pàtàkì nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì àti ìmọ̀ ẹ̀rọ, láti fisiksi sí ètò ọrọ̀ ajé.
Láti lóye kókó iye owó Riemann, a gbọ́dọ̀ ṣàyẹ̀wò àwọn ohun pàtàkì rẹ̀, títí bí pípín àkókò, pípín àwọn ibi ìṣàyẹ̀wò, ṣíṣe àkójọpọ̀ owó, àti lílò wọn nínú ìṣọ̀kan. Ẹ jẹ́ kí a wádìí jinlẹ̀ síi nípa kókó yìí.
Ifihan si Awọn Erongba Ipilẹ
Àròpọ̀ Riemann jẹ́ ọ̀nà láti ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ kan lórí àkókò pípẹ́ \([a, b]\). Ọ̀nà yìí ní nínú pípín àkókò náà sí àwọn àkókò kékeré, ṣíṣe àyẹ̀wò iṣẹ́ náà ní àwọn ibi pàtó kan nínú àkókò kọ̀ọ̀kan, lẹ́yìn náà ṣe àkópọ̀ àwọn ọjà ti àwọn iye iṣẹ́ náà pẹ̀lú àwọn gígùn àwọn àkókò kékeré tí ó báramu.
Ìpín Àárín Àárín
Igbesẹ akọkọ ninu sisọ iye Riemann ni lati pin aarin \([a, b]\) si awọn aaye kekere ti gigun kan. Ka sọ pe aarin \([a, b]\) ti pin si awọn apakan dogba \(n\) lẹhinna:
\[ \Delta x = \frac{b – a}{n} \]
Ààlà ìsàlẹ̀ kọ̀ọ̀kan ní gígùn \(\Delta x\), àti àwọn ojú ìpín wọ̀nyí sábà máa ń jẹ́ \((x_0, x_1, x_2, …, x_n)\), níbi tí \(x_0 = a\), \(x_1 = a + \Delta x\), \(x_2 = a + 2\Delta x\), àti bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ títí dé \(x_n = b\).
Ìpinnu Ààyè Ìṣàyẹ̀wò
Fún gbogbo ìpele ìsàlẹ̀ \([x_{i-1}, x_i]\), a nílò ojú ìṣàyẹ̀wò \(x_i \) tí ó wà láàrín ìpele ìsàlẹ̀ yẹn. A lè pinnu ojú yìí bí a ṣe ń sọ:
1. Àpá Òsì: \(x_i^ = x_{i-1}\)
2. Àmì Ọ̀tún: \(x_i^ = x_i\)
3. Àárín: \(x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}\)
4. Àwọn Àmì Àìròtẹ́lẹ̀: Gbogbo \(x_i \) jẹ́ àmì àìròtẹ́lẹ̀ nínú \([x_{i-1}, x_i]\)
Yíyàn àwọn ojú ìṣàyẹ̀wò lè ní ipa lórí àbájáde iye Riemann, pàápàá jùlọ bí iṣẹ́ náà bá ń dáwọ́ dúró tàbí tí ó ní ìyàtọ̀ kíákíá.
Ìṣẹ̀dá Àpapọ̀
Ní kete tí ìpínyà àárín àti ìpinnu àmì ìṣàyẹ̀wò bá ti parí, ìgbésẹ̀ tó tẹ̀lé ni láti ṣírò iye iṣẹ́ ní ojú ìwòye kọ̀ọ̀kan \(f(x_i^ )\) kí a sì sọ iye náà di púpọ̀ nípa gígùn àárín ìdúró \(\Delta x\). A túmọ̀ iye Riemann \(R\) gẹ́gẹ́ bí:
\[ R = \sum_{i=1}^nf(x_i^ ) \Delta x \]
Nígbà tí iye àwọn ìfàsẹ́yìn ìsàlẹ̀ \(n\) bá pọ̀ sí i láìsí ìdè (\(n \rightarrow \infty\)), gígùn ìfàsẹ́yìn ìsàlẹ̀ \(\Delta x\) di kékeré láìlópin, iye Riemann sì sún mọ́ ìṣọ̀kan iṣẹ́ \(f\) lórí ìfàsẹ́yìn \([a, b]\). Àkíyèsí ààlà yìí ni a kọ gẹ́gẹ́ bí:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^ ) \Delta x \]
Àpẹẹrẹ Ìmúlò Riemann Sum
Gẹ́gẹ́ bí àpèjúwe, ẹ jẹ́ kí a lo àpapọ̀ Riemann láti pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \(f(x) = x^2\) lórí àlàfo \([0, 1]\).
Igbesẹ 1: Ipinya Aarin
Ká sọ pé a pín àlàfo \([0, 1]\) sí àwọn àlàfo \(n\) tí gígùn wọn dọ́gba, nígbà náà ni gígùn àwọn àlàfo onípele náà yóò jẹ́:
\[ \Delta x = \frac{1 – 0}{n} = \frac{1}{n} \]
Igbesẹ 2: Oju opo Iṣayẹwo
Lo ojú-ìwọ̀n àárín \(x_i \) láti ṣe àyẹ̀wò iṣẹ́ náà lórí ìpele-ìpín kọ̀ọ̀kan \([x_{i-1}, x_i]\):
\[ x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} = \frac{\left(\frac{i-1}{n}\right) + \left(\frac{i}{n}\right)}{2} = \frac{2i – 1}{2n} \]
Igbese 3: Iṣiro Apapọ
Iye iṣẹ́ náà \(f(x_i^) = \left( \frac{2i – 1}{2n} \right)^2 = \frac{(2i-1)^2}{4n^2}\), lẹ́yìn náà ni àpapọ̀ Riemann yóò di:
\[ R = \sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i – 1}{2n}\right) \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1)^2}{4n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \]
Pẹ̀lú àyẹ̀wò síwájú síi, àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin ti àwọn nọ́mbà àìdọ́gba fúnni ní àmì sígma èyí tí a lè túbọ̀ mú rọrùn títí tí yóò fi dé ààlà.
Níkẹyìn, bí \(n\) ṣe lọ sí àìlópin, iye iye Riemann yóò súnmọ́ àbájáde ìṣọ̀kan gangan náà:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \frac{1}{3} \]
Ati ninu abajade itupalẹ ti apapọ a gba:
\[ \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \]
Awọn oriṣiriṣi ati Awọn lilo ti Riemann Sums
Yàtọ̀ sí ìṣọ̀kan ìbílẹ̀, iye Riemann náà ní àwọn ìyàtọ̀ mìíràn, títí bí iye Riemann-Kronecker àti iye Riemann-Stieltjes fún àwọn àyè metric àti àwọn ohun èlò tó gbòòrò nínú ìwádìí iṣẹ́. Ó tún jẹ́ ìpìlẹ̀ fún àwọn ọ̀nà nọ́mbà bíi ọ̀nà Trapzoid àti Simpson tí a lò nínú ìṣiṣẹ́ ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì.
Tilekun
Àwọn àròpọ̀ Riemann pèsè ọ̀nà tó lágbára àti tó rọrùn láti fi ṣàlàyé àti ṣíṣírò àwọn àròpọ̀ nínú onírúurú ipò ìṣirò. Gẹ́gẹ́ bí irinṣẹ́ ìkọ́ni fún àwọn ìṣòro ìpìlẹ̀ nínú ìṣirò, òye pípéye nípa èrò yìí ṣí àwọn òye sílẹ̀ sí àwọn ìlò gbígbòòrò ti àwọn àròpọ̀ nínú ìgbésí ayé gidi, ní àwọn sáyẹ́ǹsì pàtó àti àwọn agbègbè àwùjọ àti ọrọ̀-ajé. Kì í ṣe pé Bernhard Riemann fi àwárí yìí ṣe àfikún ìmọ̀ ìṣirò nìkan ni, ṣùgbọ́n ó tún ṣí àwọn ọ̀nà tuntun nínú ìṣàyẹ̀wò àròpọ̀ òde òní.
