je
Àwọn Integrals jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí ó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀ dáadáa. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé àwọn ohun tí a ti ṣe àpèjúwe ìyípadà nínú ìtẹ̀sí tàbí ìtẹ̀sí ìtẹ̀sí ní ojú kan pàtó, àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀, ní ọwọ́ kejì, máa ń yí gbogbo agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìtẹ̀sí náà ká lórí àkókò pàtó kan. Àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀ jẹ́ irinṣẹ́ pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò, fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ẹ̀ka mìíràn. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò èrò àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀ ní kíkún, pẹ̀lú ìtàn wọn, ìtumọ̀ wọn, irú àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀, àwọn ohun tí a ti ṣe àgbékalẹ̀ rẹ̀, àti àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro ìtẹ̀sí náà.
Ìtàn Àpapọ̀
Àwọn onímọ̀ sáyẹ́ǹsì ilẹ̀ Gíríkì ìgbàanì ló kọ́kọ́ ṣe àgbékalẹ̀ Integrals nípasẹ̀ ọ̀nà ìrẹ̀wẹ̀sì tí Eudoxus ṣe, lẹ́yìn náà Archimedes ló gbajúmọ̀. Síbẹ̀síbẹ̀, ìdàgbàsókè àwọn integrals òde òní lè padà sí ọ̀rúndún kẹtàdínlógún pẹ̀lú iṣẹ́ Isaac Newton àti Gottfried Wilhelm Leibniz. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé Newton àti Leibniz ń ṣiṣẹ́ lọ́tọ̀ọ̀tọ̀, wọ́n ṣe àgbékalẹ̀ calculus tó ní integrals àti derivatives nínú, àwọn èrò méjì tí ó ní í ṣe pẹ̀lú Fundamental Theorem of Calculus. Ìlànà yìí sọ pé ìṣọ̀kan àti ìyàtọ̀ jẹ́ iṣẹ́ ìyípadà.
Newton lo àwọn integrals nínú ìtàn fisiksi láti ṣírò agbègbè lábẹ́ ìlà kan tí ó dúró fún ìyípadà nínú iyàrá pẹ̀lú àkókò, èrò kan tí ó ṣe pàtàkì fún àwọn onímọ̀ nípa ìṣẹ̀dá àtijọ́. Ní ọwọ́ kejì ẹ̀wẹ̀, Leibniz ṣe àgbékalẹ̀ àmì ìṣọ̀kan ∫ tí a ń lò lónìí, tí a yọ láti inú lẹ́tà gígùn “s,” kúkúrú fún “summa” (Látìnì fún “sum”).
Ìtumọ̀ ti Integral
A le ka akojọpọ iṣẹ kan si “apapo-ipin.” Ni deede, awọn oriṣiriṣi integrals meji lo wa ti a maa n lo nigbagbogbo: integrals integrals ati integrals definite.
Integral Independent
Àkópọ̀ àìlópin ti iṣẹ́ f(x) ni iṣẹ́ F(x) tí àbájáde rẹ̀ láti ọ̀dọ̀ F(x) jẹ́ f(x). Àkọlé rẹ̀ ni a kọ gẹ́gẹ́ bí:
∫ f(x) dx = F(x) + C
níbi tí C jẹ́ ìṣọ̀kan ìṣọ̀kan tí a nílò nítorí pé àbájáde ìṣọ̀kan jẹ́ òdo. Àpẹẹrẹ kan tí ó rọrùn ti ìṣọ̀kan àìlópin ni:
∫ 2x dx = x² + C
Àpapọ̀ Pàtàkì
Àkójọpọ̀ pàtó ti iṣẹ́ f(x) láti a sí b ṣàlàyé agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà láti x = a sí x = b. A kọ ọ́ gẹ́gẹ́ bí:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
níbi tí F(x) jẹ́ ohun tí ó ń dènà ìyọrísí f(x). Fún àpẹẹrẹ:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
Àwọn Irú Àwọn Ohun Èlò
Ní àfikún sí àwọn ìpìlẹ̀ ìṣọ̀kan tí a ti sọ̀rọ̀ nípa wọn lókè yìí, onírúurú àwọn ìṣọ̀kan mìíràn tún wà tí a lò nínú ìṣirò àti àwọn ìlò ìṣe. Díẹ̀ lára wọn ni:
Integral Meji
Àpapọ̀ méjì kan ní í ṣe pẹ̀lú ìṣọ̀kan lórí àwọn oniyipada méjì tàbí jù bẹ́ẹ̀ lọ. A sábà máa ń lò ó nínú ìṣirò onípele-pupọ láti ṣírò àwọn iwọn didun lábẹ́ ojú ilẹ̀ tàbí àwọn iye nọ́mbà fún àwọn iṣẹ́ ti àwọn oniyipada méjì tàbí jù bẹ́ẹ̀ lọ. Àwọn àpẹẹrẹ pẹ̀lú:
∫∫_R f(x,y) dA
Lẹ́bẹ́gẹ́ẹ̀tì Lẹ́bẹ́gẹ́ẹ̀tì
Ìṣọ̀kan Lebesgue jẹ́ ìṣàpapọ̀ ìṣọ̀kan Riemann tí a lò láti ṣe àwọn iṣẹ́ tí kò báradé mu. Ìṣọ̀kan yìí ṣe pàtàkì ní pàtàkì nínú ìṣàyẹ̀wò gidi àti ìmòye ìṣeeṣe.
Àpapọ̀ Ìlà
Ìṣọ̀kan ìlà kan so iṣẹ́ pọ̀ mọ́ ara wọn ní ẹ̀gbẹ́ ìlà tàbí ipa ọ̀nà kan nínú ààyè tàbí ojú ọ̀nà kan. Ó wúlò gan-an nínú fisiksi àti ìmọ̀ ẹ̀rọ fún ṣíṣírò iṣẹ́ tí agbára kan ṣe ní ojú ọ̀nà kan.
∫_C F · dr
Àpapọ̀ ojú ilẹ̀
Àpapọ̀ ojú ilẹ̀ náà máa ń yí ìdàpọ̀ méjì padà láti fi sí ojú ilẹ̀ ní àyè oníwọ̀n mẹ́ta. A sábà máa ń lò ó nínú electrodynamics àti fluid mechanics.
∫∫_S f(x,y,z) dS
Ohun elo Apapọ
Àwọn Integrals ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò nínú onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì. Díẹ̀ lára àwọn ìlò pàtàkì jùlọ ni:
Fisiksi
Nínú fisiksi, a sábà máa ń lo àwọn integrals láti ṣírò iṣẹ́, agbára, àti onírúurú ìwọ̀n ara mìíràn. Fún àpẹẹrẹ, àwọn integrals ni a lò láti ṣírò iṣẹ́ tí agbára kan ṣe nínú ìṣípo ti patiku kan:
W = ∫ F(x) dx
Àwọn ohun èlò ìṣọ̀kan tún ṣe pàtàkì nínú wíwá ibi-ìwọ̀n, àárín ibi-ìwọ̀n, àkókò ìfàsẹ́yìn, àti ìpínkiri ibi-ìwọ̀n nínú àwọn ohun tí a lè fojú rí.
Awọn iṣiro
Nínú àwọn statistiki àti ìmòye ìṣeeṣe, a lo àwọn integrals láti ṣírò àwọn ìṣeeṣe àti àwọn ìfojúsùn ti onírúurú ìpínkiri ìṣeeṣe. Àpẹẹrẹ kan ni ṣíṣírò ìṣeeṣe àpapọ̀ ti oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ kan tí ń bá a lọ:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
aje
Nínú ètò ọrọ̀ ajé, a máa ń lo àwọn integrals láti ṣírò èrè gbogbo, iye owó, àti àjẹkù àwọn oníbàárà/olùpèsè. Fún àpẹẹrẹ, láti ṣírò gbogbo iye owó ní ìbámu pẹ̀lú iye owó tí a lè ná:
Iye owo apapọ = ∫ MC(q) dq
Imọ-ẹrọ
Nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ, a sábà máa ń lo àwọn integrals nínú ìṣàyẹ̀wò stress, deformation, àti transfer ooru. Ìmọ̀ ẹ̀rọ ìṣàkóso tún ń lo àwọn integrals fún àwọn ètò ìṣàkóso integral nínú àwọn olùdarí PID (Proportional-Integral-Derivative).
Àwọn Àpẹẹrẹ Ìṣòro Àpapọ̀
Eyi ni diẹ ninu awọn apẹẹrẹ ti awọn iṣoro pataki ati awọn solusan wọn:
Àpẹẹrẹ 1: Indefinite Integral
Wa akojọpọ ailopin ti f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
Solusi:
A le yanjú integral yìí nípa lílo òfin integral ipilẹ. A fi ọ̀kan kún exponent náà lẹ́yìn náà a pín integral tuntun sí méjì:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
Àpẹẹrẹ 2: Àpapọ̀ Tó Pàtàkì
Wa agbegbe ti o wa labẹ ìlà f(x) = 2x lati 1 si 4:
∫[1,4] 2x dx
Solusi:
Àkọ́kọ́, a rí antiderivative ti 2x, èyí tí í ṣe x². Lẹ́yìn náà, a lo àwọn ààlà ìsàlẹ̀ àti òkè:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
Ipari
Àwọn Integrals jẹ́ àwọn èrò pàtàkì nínú kalkulus, wọ́n ń gba èrò agbègbè lábẹ́ ìlà àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìlò rẹ̀. Láti ìtàn wọn ní Greece àtijọ́ sí àwọn ìdàgbàsókè pàtàkì láti ọwọ́ Newton àti Leibniz, sí oríṣiríṣi irú àti ìlò wọn nínú ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì àti ìmọ̀ ẹ̀rọ, àwọn integrals ń kó ipa pàtàkì nínú ètò ìṣirò òde òní. Lílóye àwọn integrals kìí ṣe pé ó ń ràn wá lọ́wọ́ láti yanjú àwọn ìṣòro ìṣirò nìkan ṣùgbọ́n ó tún ń ṣí òye sílẹ̀ nípa ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò wọn nínú ìgbésí ayé ojoojúmọ́ àti ayé iṣẹ́.
