Àpẹẹrẹ ìbéèrè ìjíròrò lórí ìyọrísí iṣẹ́ aljebra kan
Àtúnṣe nínú ìṣirò jẹ́ èrò pàtàkì kan tí a lò láti ṣàpèjúwe bí iṣẹ́ kan ṣe ń yípadà, tàbí bí iṣẹ́ kan ṣe ń gbòòrò sí i ní ojú kan. Àwọn àtúnṣe wúlò ní onírúurú ẹ̀ka bíi fisiksi, ọrọ̀ ajé, àti ìmọ̀ ẹ̀rọ nítorí wọ́n ń fúnni ní ìwífún nípa ìwọ̀n ìyípadà. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn àtúnṣe ti àwọn iṣẹ́ aljebra àti bí a ṣe lè yanjú wọn.
Àpẹẹrẹ 1: Ìṣẹ̀dá ti Iṣẹ́ Polynomial
Ìbéèrè: Fún iṣẹ́ náà \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Pinnu àbájáde iṣẹ́ náà!
Ojutu:
Nípa lílo òfin ìpìlẹ̀ ti àwọn ohun tí a lè ṣe àtúnṣe fún àwọn iṣẹ́ polynomial, èyí ni \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), a ó ṣírò ohun tí a lè ṣe àtúnṣe ti ọ̀rọ̀ kọ̀ọ̀kan ti iṣẹ́ náà ní ọ̀kọ̀ọ̀kan.
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
f (x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{àtúnṣe }
\]
Nítorí náà, àbájáde ti \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ni \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Àpẹẹrẹ 2: Ìṣẹ̀dá Iṣẹ́ kan pẹ̀lú Àwọn Olùṣàfihàn Ẹ̀yà
Ìbéèrè: Pinnu àbájáde iṣẹ́ náà \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Ojutu:
Nípa lílo òfin ìyọrísí kan náà, ìyẹn ni \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{dx}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{àtúnṣe }
\]
Nítorí náà, àbájáde ti \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ni \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Àpẹẹrẹ 3: Àwọn Ìyọrísí Àwọn Iṣẹ́ Onípele-ìpele àti Onípele-ìpele
Ìbéèrè: Pinnu àbájáde iṣẹ́ náà \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Ojutu:
Láti yanjú àbájáde yìí, a nílò Òfin Ọjà, èyí tí ó sọ \((uv)' = u'v + uv'\). Ká sọ pé \( u(x) = e^x \) àti \( v(x) = \sin(x) \), lẹ́yìn náà:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
u'(x) &= e^x, & \text{nítorí pé àtúnsọ ti } e^x \text{ jẹ́ } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{nítorí pé àtúnsọ ti } \sin(x) \text{ jẹ́ } \cos(x).
\end{àtúnṣe }
\]
Lilo awọn ofin ti a gba lati awọn ọja:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{àtúnṣe }
\]
Nítorí náà, àbájáde ti \( h(x) = e^x \sin(x) \) ni \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Àpẹẹrẹ 4: Àbájáde Iṣẹ́ kan nípa lílo Òfin Ẹ̀wọ̀n
Ìbéèrè: Pinnu àbájáde iṣẹ́ náà \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Ojutu:
Láti yanjú àtúnṣe yìí, a nílò òfin ẹ̀wọ̀n, èyí ni \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Ká sọ pé \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) àti \( f(u) = u^5 \), lẹ́yìn náà:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, àti \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{àtúnṣe }
\]
Lilo ofin pq:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{àtúnṣe }
\]
Nítorí náà, àbájáde ti \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ni \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Àpẹẹrẹ 5: Àbájáde Iṣẹ́ kan pẹ̀lú Àwọn Ìdámọ̀ Trigonometric
Ìbéèrè: Pinnu àbájáde iṣẹ́ náà \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Ojutu:
A ó lo òfin àtúnṣe fún àwọn ọjà. Ká sọ pé \( u(x) = \sin(x) \) àti \( v(x) = \cos(x) \), lẹ́yìn náà:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{àtúnṣe }
\]
Lilo awọn ofin ti a gba lati awọn ọja:
\[
\bẹ̀rẹ̀{ìtúnṣe }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{àtúnṣe }
\]
Lílo ìdámọ̀ trigonometric \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Nítorí náà, àbájáde ti \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) ni \( m'(x) = \cos(2x) \).
Ipari
Àtúnṣe iṣẹ́ aljebra jẹ́ èrò pàtàkì nínú kalkulus tó ṣe pàtàkì gan-an tó sì wúlò ní onírúurú ìlò. Oríṣiríṣi òfin ìyọrísí, bíi òfin ìpìlẹ̀, òfin ọjà, òfin ẹ̀wọ̀n, àti àwọn òfin fún àwọn àtúnṣe trigonometric, gbogbo wọn ló ń ran lọ́wọ́ láti ṣírò àwọn àtúnṣe iṣẹ́ tó díjú sí i. Nípa lílóye àwọn àpẹẹrẹ tó wà lókè yìí àti ṣíṣe àwọn ìṣòro, a lè mú òye àti òye wa sunwọ̀n síi nínú mímú àwọn àtúnṣe iṣẹ́ aljebra.
