Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Ohun Èlò Alápapọ̀
Ìṣọ̀kan jẹ́ èrò pàtàkì nínú kalkulus tí ó ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò nínú onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì, bíi fisiksi, ọrọ̀ ajé, ìmọ̀ nípa ẹ̀dá, àti ìmọ̀ ẹ̀rọ. A ń lo àwọn Integrals láti ṣírò agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà kan, ìwọ̀n ohun tí ó lágbára, iṣẹ́, ìfúnpá, àti bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn ìlò tí a ṣe àkópọ̀, lẹ́yìn náà a ó ṣe àlàyé kíkún nípa bí a ṣe lè yanjú wọn.
1. Pípín Àgbègbè Tó Wà Lábẹ́ Ìtẹ̀
Ọ̀kan lára àwọn ohun tí a sábà máa ń lò fún àwọn integrals ni láti ṣírò agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà iṣẹ́ kan lórí àkókò kan tí a fúnni. Ká sọ pé a fẹ́ rí agbègbè agbègbè tí ìlà \(y = x^2\) pààlà sí àti ìlà \(x\) láti \(x = 0\) sí \(x = 2\).
Àpẹẹrẹ ìṣòro:
Pinnu agbegbe ti o wa labẹ ìtẹ̀ \(y = x^2\) lati \(x = 0\) si \(x = 2\).
Ìjíròrò:
Láti rí agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà \(y = x^2\) láti \(x = 0\) sí \(x = 2\), a nílò láti ṣírò àpapọ̀ iṣẹ́ náà:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Igbesẹ 1: Pinnu akojọpọ \(x^2\).
Ṣàkíyèsí pé àpapọ̀ \(x^2\) ni:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Igbesẹ 2: Lo opin integral \(0\) si \(2\).
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \osi[ \frac{x^3}{3} \ọtun]_{0}^{2} \]
Igbese 3: Ṣe iṣiro iye opin naa.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Nítorí náà, agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà \(y = x^2\) láti \(x = 0\) sí \(x = 2\) jẹ́ \( \frac{8}{3} \) àwọn ẹ̀yà agbègbè.
2. Ṣíṣírò ìwọ̀n àwọn ohun tí ń yípo
A tun lo awọn Integrals lati ṣe iṣiro iwọn didun ti awọn solids ti iyipo. Ti agbegbe kan ba yipo ni ayika ipo \(x\), iwọn didun ti ohun naa le ṣee ri nipa lilo ọna disiki tabi ọna oruka.
Àpẹẹrẹ ìṣòro:
Ṣírò iye ohun tí a ṣe nígbà tí agbègbè tí a fi ìlà \(y = \sqrt{x}\) dì mọ́ àti tí ìlà \(x = 4\) yípo yípo yípo axis \(x\).
Ìjíròrò:
Láti rí ìwọ̀n ìyípadà solid kan, a lè lo ọ̀nà disk náà. A lè fi ìwọ̀n \(V\) ti solid tí ó jáde hàn gẹ́gẹ́ bí:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Níbi tí \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), àti \(b = 4\).
Igbesẹ 1: Ṣe agbekalẹ akojọpọ iwọn didun.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]
Igbesẹ 2: Ṣe iṣẹ naa ni irọrun ninu integral naa.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
Igbesẹ 3: Pinnu akojọpọ \(x\).
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Igbesẹ 4: Lo awọn opin \(0\) si \(4\).
\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
Igbese 5: Ṣe iṣiro iye opin naa.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Nítorí náà, ìwọ́n ohun tí ó jáde jẹ́ ìwọ́n ....
3. Ṣíṣírò Iṣẹ́ tí Agbára Oníyípadà kan Ṣe
A tun rii awọn ohun elo apapọ ninu fisiksi, ọkan ninu eyiti ni lati ṣe iṣiro iṣẹ ti agbara oniyipada ṣe nigbati ohun kan ba gbe lati aaye kan si omiran.
Àpẹẹrẹ ìṣòro:
Agbára \(F(x) = 3x^2\) Newton ń ṣiṣẹ́ lórí pàtákì kan tí ó ń lọ láti mita \(x = 1\) sí mita \(x = 3\). Ṣírò iṣẹ́ tí agbára náà ṣe.
Ìjíròrò:
A le rí iṣẹ́ \(W\) tí agbára \(F(x)\) ṣe nípa ṣíṣírò àpapọ̀ \(F(x)\) lórí ìyípòpadà láti \(a\) sí \(b\):
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Níbi tí \(a = 1\), \(b = 3\), àti \(F(x) = 3x^2\).
Igbesẹ 1: Ṣe akopọ ti iṣẹ naa.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Igbesẹ 2: Pinnu akojọpọ \(3x^2\).
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \osi( \frac{x^3}{3} \ọtun) = x^3 + C \]
Igbesẹ 3: Lo awọn opin \(1\) si \(3\).
\[ W = \osi[ x^3 \ọtun]_{1}^{3} \]
Igbese 4: Ṣe iṣiro iye opin naa.
\[ W = \òsì. x^3 \ọ̀tún|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Nítorí náà, iṣẹ́ tí agbára ṣe ni joules.
4. Pípín Ìfúnpá Hydrostatic
Nínú fisiksi, a tún lo àwọn integrals láti ṣírò ìfúnpá hydrostatic lórí ojú tí a rì sínú omi.
Àpẹẹrẹ ìṣòro:
A fi omi bò awo inaro ti o ga to mita mẹfa ati fifẹ mita mẹrin pẹlu oke rẹ loke oju omi. Ṣe iṣiro agbara apapọ ti titẹ omi lori awo naa.
Ìjíròrò:
A fi titẹ ni ijinle \(h\) ninu omi han nipa \(P = \rho gh\), nibiti \(\rho\) jẹ iwuwo omi (nipa \(1000 \text{ kg/m}^3\)) ati \(g\) jẹ iyara nitori agbara ina (nipa \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Fun agbara titẹ gbogbo, a gbọdọ ṣepọ titẹ naa lori agbegbe inaro ti awo naa.
Igbesẹ 1: Pinnu iṣẹ titẹ.
\[ P(y) = \rho gy \]
Igbese 2: Agbara apapọ \(F\) ni apapọ ti akoko titẹ agbegbe akọkọ \(dA\) lati \(y = 0\) si \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Igbesẹ 3: Mu awọn ohun ti o duro ni irọrun rọrun.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Igbesẹ 4: Pinnu akojọpọ \(y\).
\[ \int y \, dy = \ frac{y^2}{2} \]
Igbesẹ 5: Lo awọn opin \(0\) si \(6\).
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \osi[ \frac{y^2}{2} \ọtun]_{0}^{6} \]
Igbese 6: Ṣe iṣiro iye opin naa.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
Nítorí náà, gbogbo agbára ìfúnpá omi lórí àwo náà ni \(705600\) Newton.
Ipari
Lilo awọn integrals ninu awọn ohun elo oriṣiriṣi pese agbara itupalẹ nla fun iṣiro awọn iwọn ti ara ti o nira. Ninu nkan yii, a ti jiroro bi a ṣe lo awọn integrals lati ṣe iṣiro agbegbe labẹ tẹẹrẹ kan, iwọn didun ti iyipo solid, iṣẹ ti agbara oniyipada ṣe, ati titẹ hydrostatic. Pẹlu oye ti o dara ti awọn imuposi isọdọkan, a le yanju ọpọlọpọ awọn iṣoro iṣe ti o dide ninu imọ-jinlẹ ati imọ-ẹrọ.
