Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Lílo Àwọn Integrals nínú Ṣíṣírò Agbègbè Pẹpẹ Pẹpẹ kan
Nínú ẹ̀kọ́ ìṣirò, a sábà máa ń rí àwọn integrals nínú kalkulus. Ọ̀kan lára àwọn ohun tí a mọ̀ dáadáa nípa integrals ni ṣíṣírò agbègbè lábẹ́ ìlà tàbí ìpele. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro, yóò sì jíròrò lílo integrals láti ṣírò agbègbè ìpele kan.
Ifihan si Imọ-ọrọ
Kí a tó tẹ̀síwájú sí ìṣòro àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a ṣe àtúnyẹ̀wò èrò ìpìlẹ̀ ti ṣíṣírò agbègbè lábẹ́ ìlà kan nípa lílo àwọn integrals. Tí a bá ní iṣẹ́ f(x) kan tí ó ń tẹ̀síwájú lórí àárín [a, b], nígbà náà agbègbè lábẹ́ ìlà náà y = f(x) láti x = a sí x = b ni:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Ní ti gíómẹ́tìrì, èyí túmọ̀ sí wípé a ń ṣàkópọ̀ agbègbè onígun mẹ́rin kan tín-ín-rín láti x = a sí x = b.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1
Soal
Ṣírò agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà y = x² nínú ààrín [1, 3].
Ifọrọwanilẹnuwo
Láti ṣírò agbègbè náà, a lo àpapọ̀ náà:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
A bẹ̀rẹ̀ nípa wíwá antiderivative ti \( x^2 \). Antiderivative ti \( x^2 \) ni \( \frac{x^3}{3} \). Lẹ́yìn náà integral náà di:
\[ L = \osi[ \frac{x^3}{3} \ọtun]_{1}^{3} \]
Rántí pé a ní láti ṣe àyẹ̀wò antiderivative lórí àwọn ààlà ti integral:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Nítorí náà, agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà y = x² láti x = 1 sí x = 3 ni:
\[ \frac{26}{3} \, \text{agbegbe ẹyọkan} \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2
Soal
Pinnu agbegbe agbegbe ti a fi iyipo y = x³ so ati awọn ila x = 1 ati x = 2.
Ifọrọwanilẹnuwo
Láti ṣírò agbègbè náà, a lo àpapọ̀ náà:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Gẹ́gẹ́ bí ìṣe déédé, a bẹ̀rẹ̀ nípa wíwá antiderivative ti \( x^3 \). Antiderivative ti \( x^3 \) ni \( \frac{x^4}{4} \). Integration náà di:
\[ L = \osi[ \frac{x^4}{4} \ọtun]_{1}^{2} \]
Ṣe ayẹwo awọn opin ti apapo naa:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Nítorí náà, agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà y = x³ láti x = 1 sí x = 2 ni:
\[ \frac{15}{4} \, \text{agbegbe ẹyọkan} \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3
Soal
Pinnu agbegbe agbegbe ti a fi awọn iyipo y = x² + 1 so mọ ati y = 2x + 2 ninu aarin x = 0 si x = 1.
Ifọrọwanilẹnuwo
Àkọ́kọ́, a nílò láti wá àwọn ibi ìsopọ̀ láti mọ ààlà ìṣọ̀kan náà. Ojútùú sí \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Lilo agbekalẹ onigun mẹrin:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Sibẹsibẹ, fun awọn opin oke ati isalẹ laarin 0 ati 1, a ko nilo lati lo ojutu quadratic, o kan jẹ opin apapọ lasan lati 0 si 1. Nigbamii, ṣe iṣiro agbegbe ti ila y oke iyokuro ila y isalẹ gẹgẹbi awọn opin wọnyi:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Irọrun iṣẹ:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Lẹ́yìn náà, a rí ohun tí ó ń dènà ìyọrísí náà:
Àkójọpọ̀ ìyípadà ti \( (-x^2) \) ni \( -\frac{x^3}{3} \),
Àkójọpọ̀ ìyípadà ti \( (2x) \) ni \( x^2 \),
Àkójọpọ̀ ìfàsẹ́yìn ti \( (1) \) ni \( x \).
Nítorí náà,
\[ L = \òsì. \òsì(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \ọ̀tún) \ọ̀tún|_0^1 \]
Ìṣàyẹ̀wò tó tẹ̀lé:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Nítorí náà, agbègbè agbègbè tí àwọn ìlà y = x² + 1 àti y = 2x + 2 wà lórí ààrín [0, 1] ni:
\[ \frac{5}{3} \, \text{agbegbe ẹyọkan} \]
-
Láti inú àwọn àpẹẹrẹ tí a mẹ́nu kàn lókè yìí, a lè rí bí a ṣe lè lo àwọn integrals láti ṣírò agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà tàbí láàrín ìlà méjì. Pẹ̀lú òye tó péye nípa àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti àwọn integrals àti àwọn ọ̀nà ìdènà ìyọrísí, ṣíṣírò àwọn agbègbè wọ̀nyí yóò di ètò àti ọ̀nà tó gbéṣẹ́ gan-an. Ní ìrètí, àpilẹ̀kọ yìí ti mú kí òye wa nípa lílo àwọn integrals pọ̀ sí i ní ayé gidi, pàápàá jùlọ ní pápá wíwọ̀n agbègbè ojú ilẹ̀.
