Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Ìjíròrò Riemann Sum
Pendahuluan
Àròpọ̀ Riemann jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò tí a lò láti ṣàlàyé ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ kan. Ọ̀nà yìí ń lo ìpínyà àárín àti àròpọ̀ àwọn agbègbè onígun mẹ́rin láti ṣe àfihàn ìṣọ̀kan náà. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò èrò ti àròpọ̀ Riemann dáadáa, pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ àti ìjíròrò láti mú kí òye rọrùn.
Ìpìlẹ̀ Èrò ti Riemannian Sum
Kí a tó jíròrò àwọn àpẹẹrẹ, ó ṣe pàtàkì láti lóye èrò ìpìlẹ̀ ti àwọn iye owó Riemannian. A lè pín àwọn iye owó Riemannian sí oríṣi mẹ́ta pàtàkì:
1. Iye owo osi Riemann
2. Iye Riemann ọtun
3. Àròpọ̀ Riemann tó wà ní àárín
Ọ̀nà yìí máa ń ya àkókò iṣẹ́ náà sọ́tọ̀ láti so pọ̀ mọ́ àwọn ìpele kékeré tí gígùn wọn dọ́gba. A máa ń lo ìpele kọ̀ọ̀kan láti ṣe onígun mẹ́rin tí gíga rẹ̀ jẹ́ ti iye iṣẹ́ náà ní ibi pàtó kan láàárín ìpele náà (òsì, ọ̀tún, tàbí àárín).
Fọ́múlá Gbogbogbò fún Riemann Sum
Ká sọ pé a fẹ́ so iṣẹ́ \( f(x) \) pọ̀ láti \( a \) sí \( b \). A pín ààrín \( [a, b] \) sí \( n \) àwọn ìpele ìsàlẹ̀ tó dọ́gba ti gígùn \( \Delta x = \frac{ba}{n} \). Àròpọ̀ Riemann fún àwọn irú mẹ́ta tí a mẹ́nu kàn lókè yìí ni a lè kọ báyìí:
1. Osi Riemann:
\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \]
2. Ọ̀tún Riemann:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]
3. Àárín Riemann:
\[ M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Delta x \]
Mo ṣe é:
– \( \Delta x \) ni iwọn ti aaye kekere kọọkan.
– \( x_i \) ni ibi ibẹrẹ ti i-th subreval fun apa osi Riemann sum.
– \( x_i \) ni opin ti i-th subreval fun iye Riemann ọtun.
– \( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \) ni aarin aarin i-th fun apapọ Riemann aarin.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Ẹ jẹ́ kí a jíròrò àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro fún oríṣi Riemann Sum kọ̀ọ̀kan láti mú kí òye wa jinlẹ̀ sí i.
Àpẹẹrẹ 1: Osì Riemann Sum
Ṣírò àpapọ̀ Riemann òsì fún \( f(x) = x^2 \) lórí àlàfo \([0, 2]\) pẹ̀lú \( n = 4 \).
Ìjíròrò:
1. Fífẹ̀ àárín ìsàlẹ̀ (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Ààlà Pínpín Àárín (òsì):
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5 \]
3. Iye Iṣẹ́ ní Ibùdó Pínpín:
\[ f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0 \]
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
4. Osi Riemann Sum (Ln):
\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x = (0) \cdot 0.5 + (0.25) \cdot 0.5 + (1) \cdot 0.5 + (2.25) \cdot 0.5 \]
\[ L_n = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 \]
\[ L_n = 1.75 \]
Àpẹẹrẹ 2: Rémann Sum Ọ̀tún
Ṣírò àpapọ̀ Riemann tó tọ́ fún \( f(x) = x^2 \) lórí àlàfo \([0, 2]\) pẹ̀lú \( n = 4 \).
Ìjíròrò:
1. Fífẹ̀ àárín ìsàlẹ̀ (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Ààyè Pínpín Àárín (ọ̀tún):
\[ x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0 \]
3. Iye Iṣẹ́ ní Ibùdó Pínpín:
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
\[ f(x_4) = f(2.0) = (2.0)^2 = 4 \]
4. Rémann Sum (Rn) Ọ̀tún:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = (0.25) \cdot 0.5 + (1) \cdot 0.5 + (2.25) \cdot 0.5 + (4) \cdot 0.5 \]
\[ R_n = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 \]
\[ R_n = 3.75 \]
Àpẹẹrẹ 3: Àárín Riemann Sum
Ṣírò àpapọ̀ Riemann àárín fún \( f(x) = x^2 \) lórí àlàfo \([0, 2]\) pẹ̀lú \( n = 4 \).
Ìjíròrò:
1. Fífẹ̀ àárín ìsàlẹ̀ (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Àárín ...
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, \text{ àti } x_{n-1}=2.0 \]
Àárín ààlà ìsàlẹ̀:
\[tm_0 = \left(\frac{0 + 0.5}{2}\right)=0.25 \]
\[tm_1 = \left(\frac{0.5 + 1.0}{2}\right)=0.75 \]
\[tm_2 = \left(\frac{1.0 + 1.5}{2}\right)=1.25 \]
\[tm_3 = \left(\frac{1.5 + 2.0}{2}\right)=1.75 \]
3. Iye Iṣẹ́ ní Àárín Gbùngbùn:
\[ f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625 \]
\[ f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625 \]
\[ f(1.25) = (1.25)^2 = 1.5625 \]
\[ f(1.75) = (1.75)^2 = 3.0625 \]
4. Central Riemann Sum (Mn):
\[ M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(tm_i) \Delta x = (0.0625) \cdot 0.5 + (0.5625) \cdot 0.5 + (1.5625) \cdot 0.5 + (3.0625) \cdot 0.5 \]
\[ M_n = 0.03125 + 0.28125 + 0.78125 + 1.53125 \]
\[ M_n = 2.625 \]
Ipari
Àpilẹ̀kọ yìí ti jíròrò bí a ṣe lè ṣírò iye owó Riemann ní apá òsì, ọ̀tún, àti àárín, pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ tó kún rẹ́rẹ́. Ọ̀nà Riemann sum pèsè ọ̀nà tó gbéṣẹ́ láti fojú díwọ̀n iye owó iṣẹ́ kan nípa pípín ààrin rẹ̀ sí àwọn ìpín kékeré àti ṣíṣírò gbogbo agbègbè ìpín kọ̀ọ̀kan. Òye tó dára nípa iye owó Riemann ṣe pàtàkì fún àwọn tó ń kẹ́kọ̀ọ́ nípa ìṣirò tàbí tí wọ́n ń ṣiṣẹ́ pẹ̀lú àwọn iṣẹ́ tó díjú ní onírúurú ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì.
