Àwọn àpẹẹrẹ ìbéèrè àti ìjíròrò nípa àwọn ohun tó jẹ́ mọ́ ara wọn
Ìṣọ̀kan pàtó jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí a sábà máa ń lò láti rí agbègbè lábẹ́ ìlà, ṣírò iye àwọn ohun tó díjú, àti fún ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ohun mìíràn nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ àti fisiksi. Jíjíròrò ìṣọ̀kan pàtó kìí ṣe pé ó fún wa ní òye ìpìlẹ̀ nípa èrò yìí nìkan ni, ó tún ń fún àwọn ọgbọ́n ìṣàyẹ̀wò ìṣirò wa lágbára sí i. Àpilẹ̀kọ yìí ń fẹ́ láti pèsè àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro pàtàkì pẹ̀lú àwọn ìjíròrò kíkún.
Ìpìlẹ̀ Ẹ̀kọ́ Àpapọ̀ Tó Pàtàkì
Kí a tó bẹ̀rẹ̀ sí í wo àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a ṣe àtúnyẹ̀wò àwọn èrò ìpìlẹ̀ nípa àwọn ìṣọ̀kan pàtó. Ìṣọ̀kan pàtó, tí a fi \(\int_a^bf(x) \, dx\ ṣe àfihàn, dúró fún agbègbè tí ó wà lábẹ́ ìlà iṣẹ́ \(f(x)\) láti ojú ìwòye \(x = a\) sí ojú ìwòye \(x = b\).
Ní ti ìṣirò, a lè fi ìṣọ̀kan pàtó láti \(a\) sí \(b\) ti iṣẹ́ \(f(x)\) hàn gẹ́gẹ́ bí:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
níbi tí \(F(x)\) jẹ́ àbájáde ìyọrísí \(f(x)\).
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Ẹ jẹ́ kí a wo àwọn àpẹẹrẹ díẹ̀ lára àwọn ìṣòro pàtàkì àti ìjíròrò wọn.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ náà \(f(x) = 2x\) láti \(x = 1\) sí \(x = 3\).
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣòro yìí, a kọ́kọ́ rí àbájáde ìfàsẹ́yìn ti \(f(x) = 2x\).
Àkójọpọ̀ ìdènà ti \(2x\) ni:
\[ F(x) = x^2 + C \]
Sibẹsibẹ, ninu awọn akojọpọ pato a ko nilo iduroṣinṣin ti isọdọkan \(C\).
Nisinsinyi, lo awọn opin ti awọn integrals lati ṣe iṣiro:
\[ \int_1^3 2x \, dx = F(3) – F(1) \]
Ṣírò iye \(F(x)\) lórí àwọn ààlà wọ̀nyí:
\[ F(3) = 3^2 = 9 \]
\[ F(1) = 1^2 = 1 \]
Nitorina,
\[ \int_1^3 2x \, dx = 9 – 1 = 8 \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ náà \(f(x) = x^2 + 1\) láti \(x = 0\) sí \(x = 2\).
Ìjíròrò:
Wa antiderivative ti \(f(x) = x^2 + 1\).
Àkójọpọ̀ ìfàsẹ́yìn ti \(x^2\) ni:
\[ \frac{1}{3}x^3 \]
Àkójọpọ̀ ìdènà ti \(1\) ni \(x\).
Nítorí náà, ohun tí ó lòdì sí ìyọrísí \(f(x)\) ni:
\[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x \]
Nisinsinyi, lo awọn opin ti awọn integrals lati ṣe iṣiro:
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = F(2) – F(0) \]
Ṣírò iye \(F(x)\) lórí àwọn ààlà wọ̀nyí:
\[ F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]
\[ F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0 \]
Nitorina,
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \frac{14}{3} – 0 = \frac{14}{3} \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ náà \(f(x) = e^x\) láti \(x = 1\) sí \(x = 2\).
Ìjíròrò:
Wa antiderivative ti \(f(x) = e^x\).
Àkójọpọ̀ ìyípadà ti \(e^x\) ni \(e^x\).
Nisinsinyi, lo awọn opin ti awọn integrals lati ṣe iṣiro:
\[ \int_1^2 e^x \, dx = F(2) – F(1) \]
Ṣírò iye \(F(x)\) lórí àwọn ààlà wọ̀nyí:
\[ F(2) = e^2 \]
\[ F(1) = e^1 = e \]
Nitorina,
\[ \int_1^2 e^x \, dx = e^2 – e \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ náà \(f(x) = \sin(x)\) láti \(x = 0\) sí \(x = \pi\).
Ìjíròrò:
Wa anti-derivative ti \(f(x) = \sin(x)\).
Àkójọpọ̀ ìyípadà ti \(\sin(x)\) ni \(-\cos(x)\).
Nisinsinyi, lo awọn opin ti awọn integrals lati ṣe iṣiro:
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = F(\pi) – F(0) \]
Ṣírò iye \(F(x)\) lórí àwọn ààlà wọ̀nyí:
\[ F (\pi) = -\cos (\pi) = -(-1) = 1 \]
\[ F(0) = -\cos(0) = -1 \]
Nitorina,
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 \]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5
Ìbéèrè:
Ṣírò ìṣọ̀kan pàtó ti iṣẹ́ náà \(f(x) = \frac{1}{x}\) láti \(x = 1\) sí \(x = e\).
Ìjíròrò:
Wa antiderivative ti \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Àkójọpọ̀ ìyípadà ti \(\frac{1}{x}\) ni \(\ln|x|\).
Nisinsinyi, lo awọn opin ti awọn integrals lati ṣe iṣiro:
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) – F(1) \]
Ṣírò iye \(F(x)\) lórí àwọn ààlà wọ̀nyí:
\[ F(e) = \ln(e) = 1 \]
\[ F(1) = \ln(1) = 0 \]
Nitorina,
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 – 0 = 1 \]
Ipari
Nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ tí a mẹ́nu kàn lókè yìí, a ti ṣe àṣàrò wíwá àwọn ìṣọ̀kan pàtó ti onírúurú iṣẹ́ ìpìlẹ̀. Ní ìgbésẹ̀ kọ̀ọ̀kan, ó ṣe pàtàkì láti kọ́kọ́ wá ìdènà-ìdámọ̀ràn náà kí a sì lo àwọn ààlà ti ìṣọ̀kan náà láti rí iye ìkẹyìn.
Àwọn ìsopọ̀ tó dájú máa ń kó ipa pàtàkì nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka ẹ̀kọ́ àti àwọn ohun èlò tó wúlò. Lílóye èrò yìí àti ṣíṣe àgbéyẹ̀wò pẹ̀lú onírúurú àpẹẹrẹ yóò mú kí àwọn ọgbọ́n ìṣirò rẹ lágbára sí i gidigidi.
