Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Pípọ̀ sí Iṣẹ́, Dídínkù Iṣẹ́, àti Àwọn Iṣẹ́ Adúró
Àwọn iṣẹ́ ìṣirò jẹ́ kókó tó jinlẹ̀ gan-an, wọ́n sì kún fún onírúurú ànímọ́, ọ̀kan lára wọn ni bí a ṣe lè ṣàyẹ̀wò wọn ní ti bí a ṣe ń pọ̀ sí i, bí a ṣe ń dínkù, tàbí bí a ṣe ń dúró. Mímọ̀ bóyá iṣẹ́ kan ń pọ̀ sí i, bí a ṣe ń dínkù, tàbí bí a ṣe ń dúró ní àkókò kan ṣe pàtàkì nínú onírúurú ìlò ìṣirò, títí kan ọrọ̀ ajé, fisiksi, àti ìmọ̀ ẹ̀rọ. Àpilẹ̀kọ yìí yóò sọ̀rọ̀ nípa àwọn àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọn nípa bí a ṣe ń pọ̀ sí i, bí a ṣe ń dínkù, àti bí a ṣe ń dúró.
Kí ni àwọn iṣẹ́ tó ń pọ̀ sí i, àwọn iṣẹ́ tó ń dínkù, àti àwọn iṣẹ́ tó dúró?
1. Iṣẹ́ Tí Ó Ń Pọ̀ Sí I: Iṣẹ́ kan \( f(x) \) ni a sọ pé ó ń pọ̀ sí i lórí àlàfo \( I \) tí ó bá jẹ́ fún gbogbo \( x_1 \) àti \( x_2 \) nínú \( I \) pẹ̀lú \( x_1 < x_2 \), a ní \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Iṣẹ́ Tí Ó Ń Dínkù: Ní ọ̀nà mìíràn, a sọ pé iṣẹ́ kan \( f(x) \) ń dínkù lórí àlàfo \( I \) tí ó bá jẹ́ fún gbogbo \( x_1 \) àti \( x_2 \) nínú \( I \) pẹ̀lú \( x_1 < x_2 \), a ní \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Iṣẹ́ Àìdúró: Iṣẹ́ kan \( f(x) \) ni a sọ pé ó dúró lórí àlàfo \( I \) tí ó bá jẹ́ fún gbogbo \( x \) nínú \( I \), iṣẹ́ náà ní iye kan náà, èyí ni \( f(x) = c \) fún gbogbo \( x \) nínú \( I \), níbi tí c jẹ́ dúró. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Pípín Ààlà Iṣẹ́ Àìdúró Tí A Bá Fún iṣẹ́ náà \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Pípín Ààlà ibi tí iṣẹ́ náà ti ń pọ̀ sí i! Ìjíròrò: Láti mọ àlàfo ibi tí iṣẹ́ náà ti ń pọ̀ sí i, a nílò láti wá àlàfo àkọ́kọ́ ti iṣẹ́ náà kí a sì ṣe àyẹ̀wò àmì àlàfo náà. 1. Igbesẹ 1: Wa itọsẹ akọkọ: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Igbesẹ 2: Pinnu awọn aaye pataki: Awọn aaye pataki ni awọn aaye nibiti itọsẹ akọkọ jẹ odo tabi a ko ṣalaye. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Pin gbogbo idogba naa nipasẹ 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] A ṣe iṣiro idogba onigun mẹrin yii: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Nitorinaa, awọn aaye pataki ni \( x = 2 \) ati \( x = -1 \). 3. Igbesẹ 3: Pinnu ami ti itọsẹ akọkọ lori aarin ti awọn aaye pataki ṣe: A yoo ṣẹda tabili ami fun \( f'(x) \) lori awọn aarin \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), ati \( (2, \infty) \). - Fun \( x \in (-\infty, -1) \): Mu \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Niwon \( f'(-2) > 0 \), lẹhinna \( f(x) \) n pọ si lori aarin \( (-\infty, -1) \).
– Fún \( x \in (-1, 2) \): Mu \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Níwọ́n ìgbà tí \( f'(0) < 0 \), nígbà náà \( f(x) \) ń dínkù lórí àlàfo \( (-1, 2) \). - Fún \( x \in (2, \infty) \): Mu \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Níwọ́n ìgbà tí \( f'(3) > 0 \), nígbà náà \( f(x) \) ń pọ̀ sí i lórí àlàfo \( (2, \infty) \).
Nítorí náà, iṣẹ́ \( f(x) \) ń pọ̀ sí i lórí ààlà \((-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Àpẹẹrẹ Ìṣòro 2: Pípín Àárín Iṣẹ́ Tí Ó Ń Dínkù
Nítorí iṣẹ́ náà \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Pinnu àwọn àlàfo tí iṣẹ́ náà ti dínkù!
Ìjíròrò:
1. Igbesẹ 1: Wa itọsẹ akọkọ:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Igbesẹ 2: Pinnu aaye pataki naa:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Nítorí náà, àwọn kókó pàtàkì ni \( x = 0 \) àti \( x = \frac{3}{2} \).
3. Igbesẹ 3: Pinnu ami ti itọsẹ akọkọ lori aarin:
– Fún \( x \in (-\infty, 0) \): Mu \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Níwọ́n ìgbà tí \( g'(-1) < 0 \), nígbà náà \( g(x) \) ń dínkù lórí àlàfo \( (-\infty, 0) \). - Fún \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Mu \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] Níwọ́n ìgbà tí \( g'(1) < 0 \), nígbà náà \( g(x) \) ń dínkù lórí àlàfo \( (0, \frac{3}{2}) \). - Fún \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ya \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] Nítorí \( g'(2) > 0 \), nígbà náà \( g(x) \) ń pọ̀ sí i lórí àlàfo \((\frac{3}{2}, \infty) \).
Nítorí náà, iṣẹ́ \( g(x) \) ń dínkù lórí ààlà \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Pípín Àárín Iṣẹ́ kan ní Ìsinmi
Nítorí iṣẹ́ náà \( h(x) = 7 \), pinnu àwọn àlàfo tí iṣẹ́ náà dúró ṣinṣin!
Ìjíròrò:
Iṣẹ́ onígbà kan bíi \( h(x) = 7 \) ní àbájáde àkọ́kọ́ ti odo fún gbogbo \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Níwọ́n ìgbà tí àtúnṣe àkọ́kọ́ jẹ́ òdo, iṣẹ́ náà dúró lórí gbogbo agbègbè náà, nítorí náà a lè sọ pé iṣẹ́ náà dúró lórí gbogbo àwọn nọ́mbà gidi, èyí tí ó jẹ́ \( (-\infty, \infty) \).
Ipari
Lílóye àwọn àkókò ìdàgbàsókè, ìdínkù, àti ìdúró nínú iṣẹ́ jẹ́ apá pàtàkì nínú ìwádìí iṣẹ́. Nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ tí a mẹ́nu kàn lókè yìí, a ti bo àwọn èrò àti ìgbésẹ̀ pàtàkì tí a nílò láti rí àwọn àkókò ìdàgbàsókè wọ̀nyí. Ìmọ̀ yìí wúlò gidigidi nínú onírúurú ìlò ìṣirò àti ìmọ̀ nípa ìṣirò.
