Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Tí Ó Ń Jíròrò Iṣẹ́ Pínpín Binomial
Pínpín binomial jẹ́ ìpínkiri ìṣeeṣe aláìláàlà kan tí ó ṣàlàyé iye àwọn àṣeyọrí nínú àdánwò kan tí ó ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn àdánwò aláìláàlà pẹ̀lú àwọn àbájáde méjì tí ó ṣeéṣe: àṣeyọrí àti ìkùnà. A ń pe ìdánwò kọ̀ọ̀kan ní ìdánwò, a sì sábà máa ń lo ìpín binomial ní àwọn ipò tí iye àwọn àṣeyọrí lórí ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìdánwò aláìláàlà jẹ́ ohun tí ó ṣe pàtàkì. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti ìpín binomial àti pèsè àwọn àpẹẹrẹ àti àwọn ìdáhùn.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Ìlànà Iṣẹ́ Pínpín Binomial
Kí a tó bẹ̀rẹ̀ sí í wo àwọn ìbéèrè àti ìjíròrò àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a jíròrò àwọn èrò ìpìlẹ̀ kan tó ní í ṣe pẹ̀lú ìpínkiri binomial.
1. Ìtumọ̀: A túmọ̀ ìpínkiri binomial gẹ́gẹ́ bí àròpọ̀ àwọn àṣeyọrí nínú àwọn ìdánwò 'n' aláìdámọ̀, níbi tí ìdánwò kọ̀ọ̀kan ní àwọn àbájáde méjì tó ṣeéṣe: àṣeyọrí (pẹ̀lú ìṣeeṣe p) tàbí àìṣeeṣe (pẹ̀lú ìṣeeṣe q = 1 – p).
2. Iṣẹ́ ìṣeeṣe: Iṣẹ́ ìṣeeṣe ti ìpínkiri binomial ni:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
iṣẹ́ mi:
– \( P(X = k) \) ni iṣeeṣe lati ni awọn aṣeyọri k ninu awọn idanwo n.
– \( \binom{n}{k} \) jẹ́ àpapọ̀ n take k, èyí tí a túmọ̀ sí \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) ni iṣeeṣe aṣeyọri lori idanwo kọọkan.
– \( (1-p) \) ni iṣeeṣe ikuna lori idanwo kọọkan.
3. Iye ati Iyatọ ti a reti:
– Iye ti a reti (apapọ) ti pinpin binomial jẹ \( \mu = np \).
– Ìyàtọ̀ ìpínkiri binomial jẹ́ \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Nísinsìnyí, ẹ jẹ́ kí a lo àwọn èrò wọ̀nyí nínú àpẹẹrẹ ìṣòro láti fúnni ní òye tó jinlẹ̀.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Ìṣirò Ìpìlẹ̀ ti Pínpín Àwọn Onímọ̀-ẹ̀rọ
Ìbéèrè:
Ilé-iṣẹ́ kan ń ṣe àwọn èròjà ẹ̀rọ itanna pẹ̀lú ìṣeeṣe 0.95 pé èròjà kọ̀ọ̀kan yóò kọjá ìdánwò dídára. Tí a bá ṣe àwọn èròjà 10, ṣírò ìṣeeṣe pé èròjà 8 gangan yóò kọjá ìdánwò dídára náà.
Ìjíròrò:
A le lo agbekalẹ pinpin binomial lati yanju iṣoro yii. Ni akọkọ, a ṣe idanimọ awọn paramita wọnyi:
– \( n \) (iye gbogbo awọn idanwo) = 10
– \( k \) (iye awọn aṣeyọri) = 8
– \( p \) (iṣeeṣe aṣeyọri) = 0.95
– \( q \) (iṣeeṣe ikuna) = 1 – 0.95 = 0.05
Lẹ́yìn náà, yí àwọn iye wọ̀nyí padà sínú fọ́múlá ìpínkiri binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Àkọ́kọ́, ṣe ìṣirò àpapọ̀ \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \igba 9 \ìgbà 8!}{8! \ìgbà 2!} = \frac{10 \ìgbà 9}{2 \ìgbà 1} = 45
\]
Lẹ́yìn náà, ṣírò àwọn ìṣeeṣe \( (0.95)^8 \) àti \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \nnkan bi 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Níkẹyìn, ṣe ìsọdipúpọ̀ gbogbo àwọn iye náà láti gba:
\[
P(X = 8) = 45 \igba 0.6634 \ìgbà 0.0025 \ìbẹ̀rẹ̀ 0.0744
\]
Nítorí náà, ìṣeeṣe pé mẹ́jọ nínú mẹ́wàá lára àwọn èròjà tó bá kọjá ìdánwò dídára náà jẹ́ nǹkan bí 0.0744 tàbí 7.44%.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Ìṣẹ̀ṣe Àpapọ̀
Ìbéèrè:
Pẹ̀lú ilé-iṣẹ́ kan náà, ṣírò ìṣeéṣe pé ó kéré tán 9 nínú àwọn èròjà 10 ló máa yege ìdánwò dídára náà.
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣòro yìí, a nílò láti ṣírò ìṣeeṣe àpapọ̀. Ìṣeeṣe pé ó kéré tán 9 nínú 10 àwọn èròjà ló kọjá ìdánwò náà túmọ̀ sí pé a ṣírò \( P(X \geq 9) \), èyí tí a lè kọ gẹ́gẹ́ bí:
\[
P (X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Lílo fọ́múlá ìpínkiri binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Ni akọkọ, ṣe iṣiro apapọ fun ọran kọọkan:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Lẹ́yìn náà, ṣírò àwọn ìṣeéṣe fún \( P(X = 9) \) àti \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 \igba (0.95)^9 \ìgbà 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \nnkan bi 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \igba 0.6302 \ìgbà 0.05 \ìbẹ̀rẹ̀ 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \igba (0.95)^{10} \ìgbà 1
\]
\[
(0.95)^{10} \nnọ́ńbà 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Àpapọ̀ ìṣeeṣe fún \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \nf 0.9138
\]
Nítorí náà, ìṣeeṣe pé ó kéré tán mẹ́sàn-án nínú àwọn èròjà mẹ́wàá ló kọjá ìdánwò dídára jẹ́ nǹkan bí 0.9138 tàbí 91.38%.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Iye tí a retí àti Ìyàtọ̀
Ìbéèrè:
Ṣírò iye àti ìyàtọ̀ tí a retí ti iye àwọn èròjà tí ó kọjá ìdánwò dídára nínú àwọn èròjà mẹ́wàá tí a ṣe, pẹ̀lú ìṣeeṣe kí ó kọjá 0.95.
Ìjíròrò:
Lo agbekalẹ wọnyi:
– Iye ti a reti (apapọ) \( \mu = np \)
– Ìyàtọ̀ \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Pẹ̀lú \( n = 10 \) àti \( p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \igba 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \igba 0.95 \ìgbà 0.05 = 0.475
\]
Nítorí náà, iye tí a retí fún iye àwọn èròjà tí ó kọjá ìdánwò dídára náà jẹ́ 9.5, àti ìyàtọ̀ náà jẹ́ 0.475.
Ipari
Nípasẹ̀ àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ mẹ́ta tí a mẹ́nu kàn lókè yìí, a ti jíròrò bí a ṣe lè ṣírò ìṣeeṣe nípa lílo ìpínkiri binomial fún onírúurú ipò: ṣíṣírò ìṣeeṣe gangan, ìṣeeṣe àpapọ̀, àti ṣíṣírò iye àti ìyàtọ̀ tí a retí. Ìmọ̀ nípa ìpínkiri binomial wúlò ní onírúurú ẹ̀ka, bí iṣẹ́ ṣíṣe, ìwádìí ìṣègùn, àti àwọn statistiki àwùjọ, níbi tí a ti lè ṣàyẹ̀wò àwọn àbájáde àwọn àyẹ̀wò tí a tún ṣe pẹ̀lú àwọn àbájáde méjì tí ó ṣeé ṣe láti ran ìpinnu lọ́wọ́. Ní ìrètí, àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ àti ìjíròrò tí a pèsè yóò ran ọ́ lọ́wọ́ láti túbọ̀ lóye nípa ìpínkiri binomial.
