Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Pínpín Binomial
Pínpín binomial jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ìpínpín ìṣeéṣe tí a sábà máa ń lò jùlọ. Ó wúlò fún ṣíṣe àwòṣe iye àwọn àṣeyọrí ní oríṣiríṣi àwọn ìdánwò tí ó jọra, tí ó jẹ́ ti ara wọn, èyí tí ọ̀kọ̀ọ̀kan wọn ń mú àṣeyọrí tàbí ìkùnà wá. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àgbéyẹ̀wò jinlẹ̀ sí ìpínpín binomial nípa fífúnni ní àwọn àpẹẹrẹ àti ìjíròrò kíkún.
Ifihan si Pinpin Binomial
Àwọn ànímọ́ pàtàkì ìpínkiri binomial:
1. n : Iye awọn idanwo tabi awọn atunwi.
2. p : Iṣeeṣe aṣeyọri ninu idanwo kọọkan.
3. q = 1-p : Iṣeeṣe ikuna ninu idanwo kọọkan.
Iṣẹ́ ibi-iṣeeṣe ti pinpin binomial ni:
\[ P(X = k) = {n \yan k} p^k (1-p)^{nk} \]
iṣẹ́ mi:
– \( {n \yan k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Onírúurú àìròtẹ́lẹ̀ kan tí ó dúró fún iye àwọn àṣeyọrí.
– \( k \): Iye awọn aṣeyọri ti a n wa.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Ẹ jẹ́ kí a bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ ìṣòro láti lóye èrò ìpínkiri binomial ní àlàyé síi.
Àpẹẹrẹ 1: Yíyan láti inú Ẹgbẹ́ Àwọn Akẹ́kọ̀ọ́
Fún àpẹẹrẹ, ká sọ pé a ní àwùjọ àwọn akẹ́kọ̀ọ́ mẹ́wàá, àti pé ìṣeeṣe pé a yan akẹ́kọ̀ọ́ kọ̀ọ̀kan láti kópa nínú ìdíje kan jẹ́ 0,3. A fẹ́ mọ ìṣeeṣe pé a yan akẹ́kọ̀ọ́ mẹ́rin gangan.
Igbesẹ 1: Ṣe idanimọ awọn pàrámítà ti pinpin binomial.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Igbese 2: Lo pinpin binomial lati ṣe iṣiro iṣeeṣe ti \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \yan 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Ṣíṣírò \( {10 \ yan 4} \):
\[ {10 \yan 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Nisinsinyi ṣe iṣirò \( (0.3)^4 \) ati \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Nitorina,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \nnọ́mbà 0.20012 \]
Nítorí náà, ìṣeeṣe pé a yan àwọn akẹ́kọ̀ọ́ mẹ́rin gangan jẹ́ nǹkan bí 0.20012 tàbí 20.012%.
Àpẹẹrẹ 2: Iṣeeṣe Kéré ju tabi Dára sí 2
Ní báyìí, fún àpẹẹrẹ, wọ́n ń béèrè lọ́wọ́ wa nípa ìṣeeṣe pé a ó yan àwọn akẹ́kọ̀ọ́ méjì tí kò tó tàbí tí wọ́n dọ́gba.
Igbesẹ 1: A ni lati ṣe iṣiro \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ati \( P(X = 2) \).
– Fún \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \yan 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \yan 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Fún \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \yan 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \yan 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Fún \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \yan 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \yan 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Igbesẹ 2: Ṣe akopọ awọn iṣeeṣe naa.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Nítorí náà, ìṣeeṣe pé a yan àwọn akẹ́kọ̀ọ́ méjì tí ó kéré sí tàbí tí ó dọ́gba jẹ́ nǹkan bí 0.7740671 tàbí 77.41%.
Àpẹẹrẹ 3: Ó ṣeéṣe kí ó kéré tán 8
Tí a bá ṣe ìdánwò kan ní ìgbà méjìlá, tí ìṣeeṣe àṣeyọrí nínú ìdánwò kọ̀ọ̀kan sì jẹ́ 0.5, kí ni ìṣeeṣe pé ó kéré tán àṣeyọrí mẹ́jọ ló máa ṣẹlẹ̀?
Igbesẹ 1: Ṣeto awọn paramita binomial: \( n = 12, p = 0.5 \).
Igbesẹ 2: Wa iṣeeṣe fun \( X \geq 8 \).
Èyí nílò ṣírò ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìṣeeṣe kọ̀ọ̀kan àti fífi wọ́n kún un:
\[ P (X \ geq 8) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) \]
Ka ọkan lẹkan:
– Fún \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \yan 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \yan 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Fún \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \yan 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \yan 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Fún \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \yan 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \yan 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Fún \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \yan 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \yan 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Fún \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \yan 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \yan 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Igbese 3: Fi gbogbo awọn iṣeeṣe kun.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \nnọ́mbà 0.1938477 \]
Nítorí náà, ìṣeeṣe pé ó kéré tán àṣeyọrí mẹ́jọ ló wáyé nínú àwọn ìdánwò mẹ́jìlá jẹ́ nǹkan bí 0.1938477 tàbí 19.38%.
Ipari
Pínpín binomial jẹ́ èrò pàtàkì nínú statistiki tó ṣe pàtàkì nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ohun èlò tó wúlò. Nípa lílóye bí a ṣe lè ṣírò àwọn ìṣeeṣe fún onírúurú ọ̀ràn ti pínpín binomial, gẹ́gẹ́ bí a ṣe fihàn nínú àwọn àpẹẹrẹ lókè yìí, a lè lo èrò yìí ní àwọn ipò gidi. Àdánwò yìí tún ń fún òye wa lágbára nípa bí àwọn ètò ìṣeeṣe ṣe ń ṣiṣẹ́ ní àyíká tó ṣe kedere àti tó wà ní ìṣètò.
