Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Ìpele Onípele Ailopin
Ìtẹ̀léra onípele aláìlópin jẹ́ ìtẹ̀léra kan tí ó ní iye àwọn ọ̀rọ̀ aláìlópin nínú ìtẹ̀síwájú onípele. Àwọn ìtẹ̀léra wọ̀nyí ní àwọn ohun pàtàkì tí a nílò kí àròpọ̀ wọn (tàbí ààlà) lè ṣeé ṣírò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò èrò ìpìlẹ̀ ti ìtẹ̀léra onípele aláìlópin, àwọn ohun tí a nílò fún kíkọ́ wọn, àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro àti àwọn ìdáhùn wọn.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Ìpìlẹ̀ ti Ìpele Onípele Ailopin
Ní pàtàkì, ìtẹ̀léra onígun mẹ́ta jẹ́ ìtẹ̀léra àwọn nọ́mbà nínú èyí tí a ti rí ìtẹ̀léra kọ̀ọ̀kan lẹ́yìn àkọ́kọ́ nípa ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ ọ̀rọ̀ ìṣáájú pẹ̀lú ìṣọ̀kan tí a ń pè ní ìpíndọ́gba gbogbogbò (r). Ká sọ pé a ní ìtẹ̀léra onígun mẹ́rin:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Fún àwọn ìlà onígun mẹ́ta tí kò lópin, a máa gbé àròpọ̀ gbogbo àwọn ọ̀rọ̀ inú ìlà náà yẹ̀ wò. Àròpọ̀ ìlà yìí ni a túmọ̀ sí:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele-ìpele aláìlópin kan máa ń para pọ̀ (ní àròpọ̀ pàtó kan) tí ó bá jẹ́ pé ìpíndọ́gba náà jẹ́ \( |r| < 1 \). Tí \( |r| \geq 1 \), nígbà náà ìtẹ̀jáde náà yóò yàtọ̀ síra, kò sì ní àròpọ̀ pàtó kan (ó lọ sí àìlópin).
Tí \( |r| < 1 \), àròpọ̀ S ti jara onigun mẹrin ailakoko le túmọ̀ sí: \[ S = \frac{a}{1-r} \] níbi tí: - \( S \) jẹ́ àròpọ̀ jara, - \( a \) jẹ́ ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, - \( r \) ni ipin naa. Àpẹẹrẹ Awọn Ibeere ati Ijiroro Àpẹẹrẹ Ibeere 1 Ibeere: Wa àròpọ̀ jara onigun mẹrin ailakoko fun jara wọnyi: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Ìjíròrò: Ẹ jẹ́ kí a dá àwọn eroja pàtàkì ti jara náà mọ̀: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 3 \) A lè rí ipin naa \( r \) nípa pípín oro kejì sí ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, ìyẹn ni: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Nítorí \( |r| = 0.5 < 1 \), jara yii parapọ̀ a sì lè ṣírò iye jara onigun mẹrin ailakoko. Lo agbekalẹ fun apapọ jara onisẹpo ailopin kan: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Nitorinaa, apapọ jara onisẹpo ailopin jẹ 6. Àpẹẹrẹ Ibeere 2 Ibeere: Wa apapọ jara onisẹpo ailopin pẹlu ọrọ akọkọ 8 ati ipin \( r = -\frac{1}{3} \). Ìjíròrò: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 8 \) Ìpíndọ́gba \( r = -\frac{1}{3} \) Nítorí \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde yìí parapọ̀, a sì lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde àìlópin. Lo ìtẹ̀jáde fún àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Nítorí náà, àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ 6. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3 Ìbéèrè: Ṣé àwọn ìtẹ̀jáde wọ̀nyí ní àròpọ̀ àìlópin? Tí ó bá rí bẹ́ẹ̀, wá àròpọ̀ náà. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Ìjíròrò: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 5 \) A lè rí ìpíndọ́gba \( r \) nípa pípín ọ̀rọ̀ kejì sí ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, ìyẹn ni: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Nítorí \( |r| = 0.5 < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde yìí para pọ̀ a sì lè ṣírò àpapọ̀ ìtẹ̀jáde àìlópin. Lo ìtẹ̀jáde fún àpapọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin kan: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Nítorí náà, àpapọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ 10. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4 Ìbéèrè: Pinnu bóyá ìtẹ̀jáde wọ̀nyí jẹ́ ìdàpọ̀ tàbí ìyàtọ̀: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Ìjíròrò: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 4 \) A lè rí ìpíndọ́gba \( r \) nípa pípín ọ̀rọ̀ kejì sí ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, ìyẹn ni: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Nítorí \( |r| = 1.5 > 1 \), àwọn ìlà yìí yàtọ̀ síra wọn kò sì ní àròpọ̀ pàtó.Nitorinaa, jara naa yatọ.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5
Ìbéèrè: Ká sọ pé o ní àwọn ìlà àìlópin wọ̀nyí:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Pinnu iye awọn jara naa.
Ìjíròrò:
Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = \frac{1}{2} \)
A le ri ipin \( r \) nipa pipin oro keji pelu oro akoko, iyẹn ni:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Nítorí \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde yìí parapọ̀, a sì lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde aláìlópin. Lo ìtẹ̀jáde fún àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Nítorí náà, àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ 1. Ìparí Ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ èrò ìṣirò pàtàkì kan tí ó ní àwọn ìlò gbígbòòrò ní onírúurú pápá. Láti pinnu àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin, a gbọ́dọ̀ rí i dájú pé ìpíndọ́gba náà \( |r| < 1 \). Nítorí náà, a lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde náà nípa lílo ìtẹ̀jáde tí ó rọrùn àti tí ó rọrùn. Láti inú àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ tí ó wà lókè, a lè rí i pé ọ̀nà yìí mú kí ó rọrùn láti yanjú àwọn ìṣòro tí ó ní ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin.
