Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Ìpele Onípele Ailopin
Ìtẹ̀léra onípele aláìlópin jẹ́ ìtẹ̀léra kan tí ó ní iye àwọn ọ̀rọ̀ aláìlópin nínú ìtẹ̀síwájú onípele. Àwọn ìtẹ̀léra wọ̀nyí ní àwọn ohun pàtàkì tí a nílò kí àròpọ̀ wọn (tàbí ààlà) lè ṣeé ṣírò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò èrò ìpìlẹ̀ ti ìtẹ̀léra onípele aláìlópin, àwọn ohun tí a nílò fún kíkọ́ wọn, àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro àti àwọn ìdáhùn wọn.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Ìpìlẹ̀ ti Ìpele Onípele Ailopin
Ní pàtàkì, ìtẹ̀léra onígun mẹ́ta jẹ́ ìtẹ̀léra àwọn nọ́mbà nínú èyí tí a ti rí ìtẹ̀léra kọ̀ọ̀kan lẹ́yìn àkọ́kọ́ nípa ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ ọ̀rọ̀ ìṣáájú pẹ̀lú ìṣọ̀kan tí a ń pè ní ìpíndọ́gba gbogbogbò (r). Ká sọ pé a ní ìtẹ̀léra onígun mẹ́rin:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Fún àwọn ìlà onígun mẹ́ta tí kò lópin, a máa gbé àròpọ̀ gbogbo àwọn ọ̀rọ̀ inú ìlà náà yẹ̀ wò. Àròpọ̀ ìlà yìí ni a túmọ̀ sí:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga). Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.
Nitorinaa, jara naa yatọ.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5
Ìbéèrè: Ká sọ pé o ní àwọn ìlà àìlópin wọ̀nyí:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Pinnu iye awọn jara naa.
Ìjíròrò:
Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = \frac{1}{2} \)
A le ri ipin \( r \) nipa pipin oro keji pelu oro akoko, iyẹn ni:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Nítorí \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde yìí parapọ̀, a sì lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde aláìlópin. Lo ìtẹ̀jáde fún àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Nítorí náà, àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ 1. Ìparí Ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ èrò ìṣirò pàtàkì kan tí ó ní àwọn ìlò gbígbòòrò ní onírúurú pápá. Láti pinnu àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin, a gbọ́dọ̀ rí i dájú pé ìpíndọ́gba náà \( |r| < 1 \). Nítorí náà, a lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde náà nípa lílo ìtẹ̀jáde tí ó rọrùn àti tí ó rọrùn. Láti inú àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ tí ó wà lókè, a lè rí i pé ọ̀nà yìí mú kí ó rọrùn láti yanjú àwọn ìṣòro tí ó ní ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin.
