Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Ìpele Onípele Ailopin
Ìtẹ̀léra onípele aláìlópin jẹ́ ìtẹ̀léra kan tí ó ní iye àwọn ọ̀rọ̀ aláìlópin nínú ìtẹ̀síwájú onípele. Àwọn ìtẹ̀léra wọ̀nyí ní àwọn ohun pàtàkì tí a nílò kí àròpọ̀ wọn (tàbí ààlà) lè ṣeé ṣírò. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò èrò ìpìlẹ̀ ti ìtẹ̀léra onípele aláìlópin, àwọn ohun tí a nílò fún kíkọ́ wọn, àti ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro àti àwọn ìdáhùn wọn.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Ìpìlẹ̀ ti Ìpele Onípele Ailopin
Ní pàtàkì, ìtẹ̀léra onígun mẹ́ta jẹ́ ìtẹ̀léra àwọn nọ́mbà nínú èyí tí a ti rí ìtẹ̀léra kọ̀ọ̀kan lẹ́yìn àkọ́kọ́ nípa ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ ọ̀rọ̀ ìṣáájú pẹ̀lú ìṣọ̀kan tí a ń pè ní ìpíndọ́gba gbogbogbò (r). Ká sọ pé a ní ìtẹ̀léra onígun mẹ́rin:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Fún àwọn ìlà onígun mẹ́ta tí kò lópin, a máa gbé àròpọ̀ gbogbo àwọn ọ̀rọ̀ inú ìlà náà yẹ̀ wò. Àròpọ̀ ìlà yìí ni a túmọ̀ sí:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele-ìnípẹ̀kun kan máa ń parapọ̀ (ní iye pàtó kan) tí ó bá jẹ́ pé iye ìpíndọ́gba náà \( |r| < 1 \) nìkan ni. Tí \( |r| \geq 1 \), ìtẹ̀jáde náà bá yàtọ̀ síra, kò sì ní iye pàtó kan (ó lọ sí àìlópin). Tí \( |r| < 1 \), a lè túmọ̀ àpapọ̀ S ti ìtẹ̀jáde onípele-ìnípẹ̀kun gẹ́gẹ́ bí: \[ S = \frac{a}{1-r} \] níbi tí: - \( S \) jẹ́ àpapọ̀ ìtẹ̀jáde náà, - \( a \) jẹ́ ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, - \( r \) ni ìpíndọ́gba gbogbogbò. Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1 Ìbéèrè: Wá àròpọ̀ ìlà onípele aláìlópin fún ìlà wọ̀nyí: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Ìjíròrò: Ẹ jẹ́ kí a dá àwọn ohun pàtàkì inú ìlà náà mọ̀: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 3 \) A lè rí ìpíndọ́gba \( r \) nípa pípín ọ̀rọ̀ kejì sí ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, ìyẹn ni: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Nítorí \( |r| = 0.5 < 1 \), ìlà yìí para pọ̀, a sì lè ṣírò àpapọ̀ ìlà aláìlópin. Lo agbekalẹ fun apapọ jara onisẹpo ailopin kan: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Nitorinaa, apapọ jara onisẹpo ailopin jẹ 6. Àpẹẹrẹ Ibeere 2 Ibeere: Wa apapọ jara onisẹpo ailopin pẹlu ọrọ akọkọ 8 ati ipin \( r = -\frac{1}{3} \). Ojutu: Oro akọkọ \( a = 8 \) Ratio \( r = -\frac{1}{3} \) Niwon \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), jara yii papọ a si le ṣe iṣiro apapọ jara ailopin. Lo agbekalẹ fun apapọ jara onisẹpo ailopin kan: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Nítorí náà, iye jara onisẹpo ailopin jẹ 6. Àpẹẹrẹ Ibeere 3 Ibeere: Njẹ jara atẹle yii ni iye ailopin? Ti o ba ri bẹẹ, wa iye naa. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Ìjíròrò: Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = 5 \) A lè rí ìpíndọ́gba \( r \) nípa pípín ọ̀rọ̀ kejì sí ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́, ìyẹn ni: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Nítorí \( |r| = 0.5 < 1 \), àwọn ìlà yìí para pọ̀, a sì lè ṣírò àpapọ̀ ìlà àìlópin. Lo agbekalẹ fun apapọ jara onisẹpo ailopin kan: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Nitorinaa, apapọ jara onisẹpo ailopin ailopin jẹ 10. Àpẹẹrẹ Ibeere 4 Ibeere: Pinnu boya jara atẹle yii jẹ convergent tabi divergent: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Ojutu: Oro akọkọ \( a = 4 \) A le rii ipin \( r \) nipa pipin oro keji nipasẹ oro akọkọ, eyini ni: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Niwon \( |r| = 1.5 > 1 \), jara yii yatọ si ara wọn ko si ni apapọ kan pato.
Nitorinaa, jara naa yatọ.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5
Ìbéèrè: Ká sọ pé o ní àwọn ìlà àìlópin wọ̀nyí:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Pinnu iye awọn jara naa.
Ìjíròrò:
Ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \( a = \frac{1}{2} \)
A le ri ipin \( r \) nipa pipin oro keji pelu oro akoko, iyẹn ni:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Nítorí \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde yìí parapọ̀, a sì lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde aláìlópin. Lo ìtẹ̀jáde fún àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Nítorí náà, àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ 1. Ìparí Ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin jẹ́ èrò ìṣirò pàtàkì kan tí ó ní àwọn ìlò gbígbòòrò ní onírúurú pápá. Láti pinnu àròpọ̀ ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin, a gbọ́dọ̀ rí i dájú pé ìpíndọ́gba náà \( |r| < 1 \). Nítorí náà, a lè ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde náà nípa lílo ìtẹ̀jáde tí ó rọrùn àti tí ó rọrùn. Láti inú àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ tí ó wà lókè, a lè rí i pé ọ̀nà yìí mú kí ó rọrùn láti yanjú àwọn ìṣòro tí ó ní ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin.
