Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Àwọn Nọ́mbà Dídídí
Àwọn nọ́mbà onípele jẹ́ kókó ọ̀rọ̀ tí a sábà máa ń rí nínú ìmọ̀ ìṣirò ní ilé-ẹ̀kọ́ gíga àti kọ́lẹ́ẹ̀jì. Àwọn nọ́mbà onípele méjì ni ó ní: apá gidi àti apá àròjinlẹ̀. Nípa lílo àmì ìṣàpẹẹrẹ, a kọ nọ́mbà onípele kan gẹ́gẹ́ bí \( z = a + bi \), níbi tí \( a \) àti \( b \) jẹ́ nọ́mbà gidi, àti \( i \) jẹ́ ẹ̀ka àròjinlẹ̀ pẹ̀lú ohun ìní \( i^2 = -1 \). Àpilẹ̀kọ yìí yóò bo ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọn nípa àwọn nọ́mbà onípele, láti àwọn iṣẹ́ ìpìlẹ̀ sí àwọn ohun èlò nínú yíyanjú ìṣòro.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
1. Àfikún àti Ìyọkúrò Àwọn Nọ́mbà Àkópọ̀
Ìbéèrè 1
Jẹ ki \ ( z_1 = 3 + 4i \) ati \ ( z_2 = 1 – 2i \). Ṣe iṣiro \( z_1 + z_2 \) ati \( z_1 – z_2 \).
Ifọrọwanilẹnuwo
Láti fi àwọn nọ́mbà onípele kún tàbí yọ wọ́n kúrò, a kàn ń lo apá gidi pẹ̀lú gidi àti apá ìrònú pẹ̀lú apá ìrònú.
Àfikún:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Ìyọkúrò:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Nítorí náà, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ati \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Ìsọdipúpọ̀ Àwọn Nọ́mbà Dídípúpọ̀
Ìbéèrè 2
Ṣírò ọjà ti \( z_1 = 2 + 3i \) nípa \( z_2 = 4 – i \).
Ifọrọwanilẹnuwo
Láti sọ àwọn nọ́mbà onípele méjì di púpọ̀, a lo ohun ìní ìpínkiri ti aljebra:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
A so gbogbo awọn eroja pọ:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Láti ìgbà \( i^2 = -1 \), lẹ́yìn náà:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Nítorí náà, ọjà \( z_1 \cdot z_2 \) jẹ́ \( 11 + 10i \).
3. Pípín Àwọn Nọ́mbà Onírúurú
Ìbéèrè 3
Ṣírò ìpín ti \( z_1 = 3 + 4i \) nípa \( z_2 = 1 – i \).
Ifọrọwanilẹnuwo
Láti pín nọ́mbà onípele kan, a máa fi ìsopọ̀ iye tí ó jẹ́ ti nọ́mbà onípele náà ṣe ìsọdipúpọ̀ iye àti iye tí ó jẹ́ ti nọ́mbà onípele náà. Àjọpọ̀ iye tí ó jẹ́ ti \( 1 – i \) jẹ́ \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Ẹ jẹ́ kí a kọ́kọ́ ṣírò iye-ìpín náà:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Nisinsinyi a ṣe iṣirò nọ́mbà náà:
\[
(3 + 4i) (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4 (-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Nitorinaa, abajade ni:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modulu ati Ariyanjiyan Awọn Nọ́mbà Dídídí
Ìbéèrè 4
Pinnu modulus ati ariyanjiyan ti \( z = 1 + i \).
Ifọrọwanilẹnuwo
Módùlù ti nọ́mbà àkópọ̀ \( z = a + bi \) ni:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Fún \( z = 1 + i \), a ní \( a = 1 \) àti \( b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Àríyànjiyàn nọ́mbà onípele kan ni igun \( \theta \) tí a ṣe pẹ̀lú ààlà gidi rere, tí a wọ̀n láti orísun sí ojú àmì \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Nítorí náà, modulus ti \( z = 1 + i \) ni \( \sqrt{2} \) àti àríyànjiyàn náà ni \( \frac{\pi}{4} \).
5. Fọ́ọ̀mù Onípele-ìfọ́sóná àti Àpẹẹrẹ Euler
Ìbéèrè 5
Ṣe àyípadà nọ́mbà onípele \( z = 1 + i \) sí ìrísí onípele.
Ifọrọwanilẹnuwo
Fọ́ọ̀mù onípele-ọ̀rọ̀ ti àwọn nọ́mbà onípele-ọ̀rọ̀ nípa lílo fọ́múlá Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Níbi tí \( r \) wà ni modulus àti \( \theta \) ni àríyànjiyàn náà wà. Láti inú ìjíròrò tó ṣáájú, a mọ̀ pé:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Nitorinaa, fọọmu exponential jẹ:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Gbòǹgbò àwọn nọ́mbà dídíjú
Ìbéèrè 6
Wa awọn gbongbo onigun mẹrin ti nọmba eka naa \( z = -1 \).
Ifọrọwanilẹnuwo
A le ri awọn gbongbo onigun mẹrin ti awọn nọmba eka nipa lilo fọọmu polar tabi exponential. A yi \( z = -1 \) pada si fọọmu exponential:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
A le kọ gbòǹgbò onígun mẹ́rin ti \(e^{i\pi} \) gẹ́gẹ́ bí:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Pẹ̀lú \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), àti \( k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi +2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Nítorí náà, àwọn gbòǹgbò onígun mẹ́rin ti \( -1 \) ni \( i \) àti \( -i \).
7. Àwọn Ìlò nínú Àwọn Ìgbékalẹ̀ Onípele-apá
Ìbéèrè 7
Yanjú ìṣètò onípele quadratic \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Ifọrọwanilẹnuwo
A le lo agbekalẹ onigun mẹrin:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Fún ìfojúsùn \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Nítorí náà, àwọn ìdáhùn ti \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) ni \( z = -2 + 3i \) àti \( z = -2 – 3i \).
Ipari
Àwọn nọ́mbà onípele jẹ́ èrò ìṣirò tó gbòòrò pẹ̀lú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò. Nípa lílóye àwọn iṣẹ́ ìpìlẹ̀ bíi ìfikún, ìyọkúrò, ìsọdipúpọ̀, àti pípín, àti bí a ṣe ń ṣírò modulus àti àríyànjiyàn, a lè yanjú onírúurú ìṣòro tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn nọ́mbà onípele. A nírètí pé, àwọn àpẹẹrẹ tí a kọ sí òkè yìí yóò ràn ọ́ lọ́wọ́ láti lóye àti láti mọ kókó ọ̀rọ̀ yìí dáadáa.
