פּונקט מולטיפּליקאַציע מאַטעריאַל ניצן יוניט וועקטאָר קאָמפּאָנענטן
מיר קענען אויסרעכענען דעם סקאלארן פראדוקט גלייך אויב מיר ווייסן די x, y און z קאמפאנענטן פון וועקטאָרן A און B (די באקאנטע וועקטאָרן).
כּדי צו דורכפירן אַ פּונקט פּראָדוקט אויף דעם אופֿן, דורכפירן מיר ערשט אַ פּונקט פּראָדוקט פֿון די איינהייט וועקטאָרן, דערנאָך דריקן מיר אויס וועקטאָרן A און B אין זייערע קאָמפּאָנענטן, צעטיילן דעם פּראָדוקט און ניצן דעם פּראָדוקט פֿון די איינהייט וועקטאָרן.
די איינהייט וועקטאָרן i , j, און k זענען פּערפּענדיקולאַר צו יעדן אַנדערן, מאַכנדיג די חשבונות גרינגער. ניצנדיק די סקאַלאַרע מולטיפּליציִר גלייכונג דערייווד אויבן ( AB = AB cos theta ), באַקומען מיר:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
איצט אויסדריקן מיר וועקטאָרן A און B אין טערמינען פון זייערע קאָמפּאָנענטן, צעטיילן זייער פּראָדוקט און נוצן דעם פּראָדוקט פון איינהייט וועקטאָרן.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
ווייַל i . i = j . j = k . k = 1 און i . j = i . k = j . k = 0, דעמאָלט:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
א . ב = א x ב x (1) + 0 + 0 +
0 + א י בי י (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
באַזירט אויף די רעזולטאַטן פון דעם חשבון, קען מען אויספירן אַז דער סקאַלאַר פּראָדוקט אָדער פּונקט פּראָדוקט פון צוויי וועקטאָרן איז די סומע פון די פּראָדוקטן פון זייערע ענלעכע קאָמפּאָנענטן.
בייַשפּיל קשיא 1:
גרויסער וועקטאָר A און B בהתאמה זענען 5 און 4, ווי געוויזן אין בילד אונטן. דער ווינקל וואָס ווערט געפאָרמט איז 90oצייל עס פּונקט פּראָדוקט ביידע וועקטאָרן.
דיסקוסיע
איידער מיר רעכענען אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט פֿון וועקטאָרן A און B, דאַרפֿן מיר ערשט וויסן די קאָמפּאָנענטן פֿונעם צווייטן וועקטאָר.
א רענטגענ = (5) קאָס 0 אָ = (5) (1) = 5
א י = (5) זינד 0 אָ = (5) (0) = 0
א ז = 0
ב רענטגענ = (4) מיט 90 אָ = (4) (0) = 0
ב י = (4) זינד 90 אָ = (4) (1) = 4
B z = 0
וועקטאָר A האט נאָר וועקטאָר קאָמפּאָנענטן אויף דער x-אַקס און וועקטאָר B האט נאָר וועקטאָר קאָמפּאָנענטן אויף דער y-אַקס. די z קאָמפּאָנענט איז נול ווייל וועקטאָרן A און B זענען אין דער xy פלאַך.
איצט רעכענען מיר אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט צווישן וועקטאָרן A און B ניצנדיק די פּונקט־פּראָדוקט גלייכונג מיט קאָמפּאָנענט־וועקטאָרן:
א. ב = אx Bx + AyBy + AzBz
א. ב = (5) (0) + (0) (4) + 0
א. ב = 0 + 0 + 0
א. ב = 0
לאָמיר עס פֿאַרגלײַכן מיטן ערשטן אופֿן
AB = AB קאָס טעטאַ
AB = (4)(5) קאָס 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
דער רעזולטאַט איז די זעלבע.
בייַשפּיל קשיא 2:
גרויסער וועקטאָר A און B זענען 5 און 4 בהתאמה, ווי געוויזן אין בילד אונטן. רעכן אויס פּונקט פּראָדוקט ביידע וועקטאָרן, אויב דער ווינקל וואָס ווערט געפֿאָרעמט איז 30o
דיסקוסיע
איידער מיר רעכענען אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט פֿון וועקטאָרן A און B, דאַרפֿן מיר ערשט וויסן די קאָמפּאָנענטן פֿונעם צווייטן וועקטאָר.
די z קאָמפּאָנענט איז נול ווײַל וועקטאָרן A און B זענען אין דער xy פלאַך.
איצט רעכענען מיר אויס דעם פּונקט־פּראָדוקט צווישן וועקטאָרן A און B ניצנדיק די פּונקט־פּראָדוקט גלייכונג מיט קאָמפּאָנענט־וועקטאָרן:
פאַרגלייכן מיט דער ערשטער מעטאָדע.
