בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן היפּערבאָלישע קאָנישע סעקשאַנז
הקדמה
אין מאטעמאטיק, איז א קעניש-שניט, אפט באצייכנט אלס א קעניש-שניט, א קורווע באקומען פון דער דורכשניט פון א קאון און א פלאך. עס זענען דא פיר הויפט טיפן קעניש-שניטן: קרייזן, עליפסעס, פאראבאלן, און היפערבאלן. אין דעם ארטיקל וועלן מיר זיך קאנצענטרירן אויף דער היפערבאלע, א טיפ קעניש-שניט וואס האט אסאך אנווענדונגען אין פעלדער ווי אסטראנאמיע, פיזיק, און אינזשעניריע. דער ארטיקל וועט פאָרשטעלן ביישפיל פראבלעמען און זייער דיסקוסיע איבער דעם טעמע, מיטן ציל צו העלפן לייענער פארשטיין דעם באגריף און ווי אזוי צו לייזן פראבלעמען פארבונדן מיט היפערבאלן.
דעפֿיניציע און אייגנשאַפֿטן פֿון היפּערבאָלע
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפּיל פֿראַגעס, לאָמיר ערשט דיסקוטירן עטלעכע גרונטלעכע קאָנצעפּטן וועגן היפּערבאָלאַ.
א היפּערבאָלע איז דער לאָקוס פון פונקטן אויף אַ פלאַך אַזוי אַז דער חילוק אין דיסטאַנץ פון יעדן פונקט פון צוויי פיקסירטע פונקטן (גערופן פאָקוסן) איז קאָנסטאַנט.
די אַלגעמיינע גלייכונג פון אַ היפּערבאָלע אין סטאַנדאַרט פאָרעם איז:
[\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
אָדער
[\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
דימאַנאַ:
– \(a\) איז די דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון דער היפּערבאָלע ביז איר שפּיץ (ווערטעקס).
– \(b\) איז די דיסטאַנץ וואָס איז פֿאַרבונדן מיט דער דיסטאַנץ פֿון צענטער צום נענטסטן פּונקט אויף דער אַסימפּטאָט פֿון דער היפּערבאָלע.
פֿאַר אַ היפּערבאָלע וואָס גייט דורך האָריזאָנטאַל, איז די אַלגעמיינע פֿאָרעם געניצט:
[\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
דערווייל, פֿאַר היפּערבאָלעס וואָס קרייַזן ווערטיקאַל:
[\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1:
געגעבן די היפּערבאָלאַ גלייכונג \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \). באַשטימט:
1. צענטער פון היפּערבאָלע.
2. לענג פון דער הויפּט אַקס און צווייטיקער אַקס.
3. פאָקוס־פונקט.
4. אַסימפּטאָט גלייכונג.
5. צייכנט די היפּערבאָלע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. צענטער פון היפּערבאָלע:
זינט די פאָרעם פון דער גלייכונג אויבן איז סטאַנדאַרט און עס זענען נישטאָ קיין טערמינען \((x – h)\) אדער \((y – k)\), איז דער צענטער פון דער היפּערבאָלע ביים פונקט (0,0).
2. לענג פון דער הויפּט אַקס און צווייטיקער אַקס:
פֿון דער גלייכונג \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \), איז באַקאַנט אַז:
\[
a^2 = 16 \רעכטער אַרראָו a = 4
\]
\[
b^2 = 9 \רעכטער פייל b = 3
\]
די לענג פון דער גרויסער אַקס איז 2a = 2 × 4 = 8.
די לענג פון דער צווייטער אַקס איז 2b = 2 × 3 = 6.
3. פאָקוס פונקט:
צו געפֿינען דעם פֿאָקוס־פונקט, ניצן מיר די באַציִונג:
\[
c^2 = א^2 + ב^2
\]
\[
c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = \sqrt{25} = 5
\]
זינט די היפּערבאָלע איז האָריזאָנטאַל, זענען די פאָקוסן אין די פונקטן \((\pm c, 0)\), נעמלעך \((5, 0)\) און \(-5, 0)\).
4. אַסימפּטאָט גלייכונג:
אַן אַסימפּטאָט איז אַ גלייכע ליניע וואָס דערנענטערט זיך צו אַ היפּערבאָלע. פֿאַר דעם נאָרמאַלן גלייכונג קען מען באַשטימען די אַסימפּטאָט דורך:
\[
y = \pm \frac{b}{a}x \Rightarrow y = \pm \frac{3}{4}x
\]
אַלזאָ, די אַסימפּטאָט גלייכונגען זענען _(y = \frac{3}{4}x \) און _(y = -\frac{3}{4}x \).
5. היפּערבאָלאַ בילד:
צו באַשרײַבן אַ היפּערבאָלאַ, דאַרפֿן מיר:
– מאַרקירט דעם צענטער ביי (0,0).
– לייגט אויס די שפּיצן ביי די פונקטן (4,0) און (-4,0).
– צייכנט אסימפטאטן מיט ליניעס y = (3/4)x און y = -(3/4)x וואס גייען דורך דעם צענטער.
– מאַרקירט די פאָקוס פּונקטן ביי (5,0) און (-5,0).
פראגע 2:
באַשטימט די גלייכונג פֿון אַ היפּערבאָלע וואָס האָט אַ הויפּט אַקס פֿון לענג 10 איינהייטן, אַ צווייטיקע אַקס פֿון לענג 8 איינהייטן, און איז צענטרירט בײַם אָנהייב.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿון דער פֿראַגע איז באַקאַנט אַז די לענג פֿון דער הויפּט אַקס (2a) איז 10 איינהייטן, דעמאָלט:
\[ 2 אַ = 10 \ רעכט אַ = 5 \]
די לענג פון דער צווייטער אַקס (2ב) איז 8 איינהייטן, אַזוי:
\[ 2b = 8 \רעכטער פייל b = 4 \]
מיטן צענטער ביים אנהייב (0,0), קענען מיר שרייבן די סטאנדארט גלייכונג פון דער היפערבאלע ווי פאלגנד:
[\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
נאכדעם וואס מען לייגט אריין די ווערטן פון a און b:
[\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
אַזוי, די היפּערבאָלאַ גלייכונג אין קשיא איז:
[\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
פראגע 3:
געגעבן אַ ווערטיקאַלע היפּערבאָלע מיט דער גלייכונג \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1 \). באַשטימט די דיסטאַנץ צווישן אירע צוויי פֿאָקוסן.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿאַר דער היפּערבאָלאַ גלייכונג \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1\), אידענטיפֿיצירן מיר אַז:
\[ a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \]
\[ b^2 = 16 \רעכטער אַרראָו b = 4 \]
צו געפינען די דיסטאַנץ צווישן צוויי פאָקוסן, נוצן מיר די באַציִונג:
\[c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 36 + 16 = 52 \רעכטער אַרראָו c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
די דיסטאַנץ צווישן די צוויי פאָקוסן פון אַ היפּערבאָלע ווערט באַרעכנט ווי 2 מאָל די דיסטאַנץ פון די פאָקוסן פון דעם צענטער:
[2c = 2 מאָל 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13} \]
אַלזאָ, די דיסטאַנץ צווישן די צוויי פֿאָקוסן איז 4 (13) איינהייטן.
קעסימפּולאַן
אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וועגן היפּערבאָלעס, אַרייַנגערעכנט אידענטיפיצירן דעם צענטער, די לענג פון די הויפּט און מינערווערטיקע אַקסן, די פאָקוסן, די גלייכונגען פֿאַר די אַסימפּטאָטעס, און די גראַפֿיקאַציע פון היפּערבאָלעס. פֿאַרשטיין ווי צו סאָלווען די פּראָבלעמען איז קריטיש, ספּעציעל פֿאַר סטודענטן וואָס שטודירן אַנאַליטיש געאָמעטריע אָדער אַוואַנסירטע מאַטעמאַטיק.
היפּערבאָלאַ איז נישט נאָר אַ טעאָריע, נאָר עס האט אויך ברייטע אַפּליקאַציעס אין אַנדערע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער ווי אַסטראָפֿיזיק, ראַדאַר און דזשי-פּי-עס. דעריבער, שטודירן היפּערבאָלאַ איז נישט נאָר וועגן סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען, נאָר אויך פֿאַרשטיין ווי די מאַטעמאַטישע קאָנצעפּטן קענען ווערן אַפּליקירט אין פאַקטישן לעבן.
