การอนุรักษ์พลังงานกลบนพื้นผิวโค้ง – ปัญหาและวิธีแก้ไข

การอนุรักษ์พลังงานกลบนพื้นผิวโค้ง – ปัญหาและวิธีแก้ไข

1. ถ้าความเร็วของลูกบอลที่จุด A คือ 6 m/s ความเร็วของลูกบอลที่จุด B คือ √92 m/s และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ g = 10 m/s² ความสูงของจุด B ( ^h ) คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วของลูกบอล ณ จุด A (v)_A) = 6 ม./วินาที

ความเร็วของลูกบอล ณ จุด B (v _B ) = √92 m/s

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

ความสูงของจุด A (h _A ) = 5.6 เมตร

ความสูงของ B (h _B ) = h

ต้องการทราบ:ความสูงของจุด B (h)

วิธีการแก้ปัญหา:

พลังงานกลเริ่มต้น= พลังงานศักย์โน้มถ่วง

ที่จุด A ความเร็วของลูกบอลเท่ากับ 0 ดังนั้นพลังงานจลน์ของลูกบอลเท่ากับ 0 KE = 1/2 mv² ⁼ 1/2 m(0) = 0

ลูกบอลอยู่ที่ความสูง 5.6 เมตร ดังนั้นลูกบอลจึงมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงพลังงานศักย์โน้มถ่วงคือ: PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m

พลังงานกลเริ่มต้น= พลังงานศักย์โน้มถ่วง + พลังงานจลน์ = 56 ม. + 0 = 56 ม.

พลังงานกลสุดท้าย = พลังงานศักย์โน้มถ่วง + พลังงานจลน์

ที่จุด B ความสูงของลูกบอลคือ h พลังงานศักย์โน้มถ่วง: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

พลังงานจลน์ของลูกบอล : KE = 1/2 mv² ⁼ 1/2 m (√92) ^² = 1/2 m (92) = 46 m

พลังงานกลสุดท้าย = พลังงานศักย์โน้มถ่วง+ พลังงานจลน์ = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

หลักการอนุรักษ์พลังงานกล:

พลังงานกลเริ่มต้น = พลังงานกลสุดท้าย

56 ม. = ม. (10 ชม. + 46)

56 = 10 ชั่วโมง + 46

56 – 46 = 10 ชั่วโมง

10 = 10 ชั่วโมง

h = 10/10

h = 1 เมตร

2.

ถ้าความเร็วเริ่มต้นเท่ากับ 0 และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเท่ากับ 10 m/s² ^แล้วความเร็วที่ความสูง B คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้น (v _o ) = 0

ความสูงเริ่มต้น (h _o ) = 50 ม. – 10 ม. = 40 ม.

ความสูงสุดท้าย (h _t ) = 0

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 ^ms⁻²

ต้องการทราบ:ความเร็วสุดท้าย (v _t )

วิธีการแก้ปัญหา:

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์:

ΔKE = 1/2 ม. (v _{เสื้อ}² – v _o ² ) = 1/2 ม. (v _{เสื้อ}² – 0) = 1/2 mv _{เสื้อ}²

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักยภาพ:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

คำนวณความเร็วสุดท้าย (v _t ) โดยใช้สมการของหลักการอนุรักษ์พลังงานกล :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 ม.

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 ม./วินาที

1. “การอนุรักษ์พลังงานกล” หมายความว่าอย่างไร?
   • คำตอบ: การอนุรักษ์พลังงานกลหมายความว่า พลังงานกลรวม (ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพ) ของระบบที่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมจะคงที่ หากมีเพียงแรงอนุรักษ์ เช่น แรงโน้มถ่วง กระทำต่อระบบนั้น
2. วัตถุที่เคลื่อนที่บนพื้นผิวโค้ง (เช่น ลูกบอลที่กลิ้งลงมาจากทางลาดโค้ง) จะรักษาพลังงานกลของมันไว้ได้อย่างไร?
   • คำตอบ: ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ลงมาตามพื้นผิวโค้ง พลังงานศักยภาพจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ แต่พลังงานกลรวมยังคงที่ โดยสมมติว่าไม่มีแรงที่ไม่คงตัว (เช่น แรงเสียดทาน) มากระทำ
3. ถ้าปล่อยลูกบอลจากหยุดนิ่งที่ด้านบนของทางลาดโค้ง พลังงานจลน์ของลูกบอลจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรขณะที่มันเคลื่อนที่ลงมาตามทางลาด?
   • คำตอบ: พลังงานจลน์ของลูกบอลจะเพิ่มขึ้นขณะที่มันเคลื่อนที่ลงมาตามทางลาด เนื่องจากพลังงานศักย์ลดลงและถูกเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์
4. ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน ความเร็วของลูกบอลที่ด้านล่างของรางเลื่อนโค้งจะแตกต่างจากความเร็วของลูกบอลที่รางเลื่อนตรงที่มีความสูงเท่ากันอย่างไร?
   • คำตอบ: ความเร็วของลูกบอลที่ด้านล่างจะเท่ากันทั้งในกรณีที่รางโค้งและรางตรง เนื่องจากพลังงานศักยภาพเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ขึ้นอยู่กับความสูงในแนวดิ่งเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่
5. เหตุใดลูกบอลจึงไม่สามารถกลับไปสู่ความสูงเดิมได้เมื่อกลิ้งขึ้นไปบนทางลาดโค้งหลังจากที่ตกลงมาจากความสูงระดับหนึ่ง?
   • คำตอบ: หากมีแรงที่ไม่คงตัว เช่น แรงเสียดทาน กระทำต่อลูกบอล แรงเหล่านั้นจะทำงานต้านการเคลื่อนที่ เปลี่ยนพลังงานกลบางส่วนของลูกบอลไปเป็นพลังงานรูปแบบอื่น เช่น ความร้อน ผลที่ตามมาคือ ลูกบอลอาจไม่มีพลังงานเพียงพอที่จะลอยขึ้นไปถึงความสูงเดิมได้
6. ถ้าวัตถุสองชิ้นที่มีรูปร่างต่างกัน (เช่น ทรงกลมและทรงลูกบาศก์) เลื่อนลงมาตามทางลาดโค้งจากความสูงเดียวกันโดยไม่กลิ้ง พวกมันจะมีความเร็วเท่ากันที่ด้านล่างหรือไม่? เพราะเหตุใด?
   • คำตอบ: ใช่แล้ว พวกมันจะมีความเร็วเท่ากันที่ด้านล่าง โดยสมมติว่าไม่มีการกลิ้งและไม่มีแรงเสียดทาน ปัจจัยเดียวที่กำหนดความเร็วของพวกมันคือการอนุรักษ์พลังงานตามความสูงเริ่มต้น ไม่ใช่รูปร่างของพวกมัน
7. ความโค้งของพื้นผิวส่งผลต่อแรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวนั้นอย่างไร?
   • คำตอบ: ความโค้งทำให้ทิศทางของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเปลี่ยนไปเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ บนพื้นผิวที่เว้าขึ้น (เช่น ด้านในของชาม) แรงปฏิกิริยาตั้งฉากจะมีค่ามากกว่าที่ด้านล่างเนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่แบบโค้ง ในทางกลับกัน บนพื้นผิวที่นูน แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจลดลงหรือแม้กระทั่งเป็นศูนย์ (วัตถุหลุดออกจากพื้นผิว) ที่จุดสูงสุด
8. รัศมีของความโค้งมีบทบาทอย่างไรในการอนุรักษ์พลังงานกลบนพื้นผิวโค้ง?
   • คำตอบ: รัศมีของความโค้งนั้นไม่ได้ส่งผลโดยตรงต่อการอนุรักษ์พลังงานกล อย่างไรก็ตาม มันสามารถส่งผลต่อแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก และหากมีแรงเสียดทาน ก็อาจส่งผลต่อปริมาณพลังงานที่สูญเสียไปกับแรงที่ไม่เป็นไปตามหลักการอนุรักษ์ได้
9. ถ้าทางวิ่งมีส่วนที่ลาดลงตรงกลาง (เช่น ส่วนโค้งรูปตัว U) พลังงานกลของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ผ่านส่วนที่ลาดลงและขึ้นไปอีกด้านหนึ่ง?
   • คำตอบ: พลังงานศักย์ของวัตถุจะลดลงเมื่อมันเคลื่อนที่ลงไปในแอ่ง และพลังงานจลน์จะเพิ่มขึ้น เมื่อมันเคลื่อนที่ขึ้นไปอีกด้านหนึ่ง พลังงานจลน์จะลดลง และพลังงานศักย์จะเพิ่มขึ้น หากมีเพียงแรงอนุรักษ์เท่านั้นที่กระทำ พลังงานกลรวมจะคงที่ตลอดการเคลื่อนที่
10. วัตถุสามารถมีทั้งพลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นและพลังงานจลน์จากการหมุนได้หรือไม่ เมื่อเคลื่อนที่บนพื้นผิวโค้ง?

• คำตอบ: ใช่แล้ว หากวัตถุ เช่น ลูกบอล กลิ้ง (โดยไม่ลื่นไถล) บนพื้นผิวโค้ง มันจะมีพลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ และพลังงานจลน์จากการหมุนเนื่องจากการหมุนรอบแกนของมัน