ตัวอย่างคำถามเพื่อหาตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในรูปพาราโบลา

ตัวอย่างคำถาม 3 ข้อเกี่ยวกับการหาตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในรูปพาราโบลา

1. ลูกบอลถูกขว้างขึ้นไปในมุม 60 องศา^o วัตถุเคลื่อนที่ในแนวนอนด้วยความเร็วเริ่มต้น 12 เมตร/วินาที จงหาตำแหน่งของวัตถุหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที! ความเร่งของแรงโน้มถ่วง = 10 ม./วินาที²
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
มุม (θ) = 60^o
เกเซปาตัน การเริ่มต้น (กริยา)_o) = 12 ม./วินาที
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²
ถาม: ตำแหน่งของลูกบอลหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที
คำตอบ :
ขั้นแรก ให้คำนวณส่วนประกอบความเร็วเริ่มต้นของลูกบอลในทิศทางแนวนอนและแนวตั้ง
ความเร็วเริ่มต้นของลูกบอลในทิศทางแนวนอน:
v_ox = v_o cos θ = (12 ม./วินาที)(cos 60^o) = (12 ม./วินาที)(0,5) = 6 ม./วินาที

ความเร็วเริ่มต้นของลูกบอลในทิศทางแนวตั้ง:
v_oy = v_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 ม./วินาที)(0,5√3) = 6√3 ม./วินาที

การเคลื่อนที่แบบพาราโบลาถือเป็นการรวมกันของการเคลื่อนที่ในแนวนอนและแนวตั้ง การเคลื่อนที่ในแนวนอนวิเคราะห์ได้ดังนี้: การเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอในขณะที่การเคลื่อนที่ในทิศทางแนวตั้งจะถูกวิเคราะห์ดังนี้ การเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่งการหาตำแหน่งของวัตถุในแนวนอนนั้นคำนวณได้เหมือนกับการหาระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนที่ในเส้นตรงด้วยอัตราคงที่ ในทางกลับกัน การหาตำแหน่งของวัตถุในแนวตั้งนั้นคำนวณได้เหมือนกับการหาความสูงของวัตถุที่เคลื่อนที่ขึ้นไปในแนวตั้ง

ตำแหน่งของลูกบอลในแนวราบ:
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความเร็วของลูกบอลในทิศทางแนวนอน (v)_x) = 6 ม./วินาที
ในการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ ความเร็วของวัตถุจะคงที่ ดังนั้นความเร็วเริ่มต้นของวัตถุจึงเท่ากับความเร็วของวัตถุเมื่อสิ้นสุดการเคลื่อนที่
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ถาม: ระยะห่างของวัตถุ
คำตอบ :
ความเร็ว 6 เมตรต่อวินาที หมายความว่าลูกบอลเคลื่อนที่ 6 เมตรทุก ๆ วินาที ระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ได้หลังจาก 1 วินาที คือ 6 เมตร ดังนั้น ตำแหน่งในแนวนอนของลูกบอลจึงอยู่ที่ 6 เมตร

ตำแหน่งของลูกบอลในแนวตั้ง:
ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง ปริมาณเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่มีทิศทางขึ้นจะได้รับเครื่องหมายบวก เวกเตอร์ที่มีทิศทางลงจะได้รับเครื่องหมายลบ
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความเร็วเริ่มต้นของลูกบอล (v)_o) = 6√3 ม./วินาที (เป็นค่าบวกเนื่องจากทิศทางของความเร็วเริ่มต้นชี้ขึ้น)
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = -10 m/s²² (ค่าเป็นลบ เนื่องจากความเร่งโน้มถ่วงมีทิศทางลงสู่ศูนย์กลางของโลก)
ถาม: ความสูงของลูกบอลหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที (h)
คำตอบ :
เป็นที่ทราบกันว่า v_o, t, g และถาม h ดังนั้นสูตรที่ใช้คือ h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 เมตร

ตำแหน่งของลูกบอลหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที:
ตำแหน่งของลูกบอลในแนวราบ (x) = 6 เมตร
ตำแหน่งของลูกบอลในแนวดิ่ง (y) = 5,2 เมตร
ดังนั้นพิกัดตำแหน่งของลูกบอลคือ (x ; y) = (6 ; 5,2)

2. กระสุนถูกยิงขึ้นไปในมุม 30°^o กระสุนปืนถูกยิงออกไปในแนวนอนจากจุดที่อยู่สูงจากพื้นดิน 20 เมตร ความเร็วเริ่มต้นของกระสุนคือ 50 เมตร/วินาที จงหาความสูงของกระสุนหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที โดยความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 10 เมตร/วินาที²²
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
มุม (θ) = 30^o
ความสูงเริ่มต้นของกระสุน (h)_o) = 20 เมตร
ความเร็วเริ่มต้นของกระสุน (v)_o) = 50 ม./วินาที
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²
ถาม: ความสูงของกระสุน
คำตอบ :
ความเร็วเริ่มต้นของกระสุนในทิศทางแนวตั้ง:
ขั้นแรก ให้คำนวณหาองค์ประกอบความเร็วเริ่มต้นของลูกบอลในทิศทางแนวตั้ง
v_oy = v_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (50 ม./วินาที)(0,5) = 25 ม./วินาที

ความสูงของกระสุน:
ความสูงของกระสุนคำนวณได้จากการวัดความสูงในแนวดิ่งขึ้น
ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง ปริมาณเวกเตอร์ที่ชี้ขึ้นจะได้รับเครื่องหมายบวก ปริมาณเวกเตอร์ที่ชี้ลงจะได้รับเครื่องหมายลบ
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความเร็วเริ่มต้นของกระสุน (v)_o) = 25 ม./วินาที (เป็นค่าบวกเนื่องจากทิศทางของความเร็วเริ่มต้นชี้ขึ้น)
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = -10 m/s²² (ค่าเป็นลบ เนื่องจากทิศทางของความเร่งโน้มถ่วงมีทิศทางลงไปยังศูนย์กลางของโลก)
ถาม: ความสูงของกระสุน (h)
คำตอบ :
เป็นที่ทราบกันว่า v_o, t, g และถาม h ดังนั้นสูตรที่ใช้คือ h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 เมตร
หลังจากกระสุนเคลื่อนที่ไป 1 วินาที กระสุนจะอยู่สูงจากจุดที่ยิง 20 เมตร หรือสูงจากพื้นดิน 40 เมตร

3. ลูกแก้วถูกขว้างออกไปทางขวาในแนวนอนจากความสูง 10 เมตร ด้วยความเร็วเริ่มต้น 10 เมตร/วินาที จงหาตำแหน่งของลูกแก้วหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที! ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง = 10 เมตร/วินาที²²
การอภิปราย
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความสูงเริ่มต้น (h) = 10 เมตร
ความเร็วเริ่มต้น (v)_o) = 10 ม./วินาที
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²
ถาม: ตำแหน่งของลูกแก้วหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที
คำตอบ :
วิถีการเคลื่อนที่ของลูกแก้วเป็นดังแสดงในภาพ หากวิถีการเคลื่อนที่เป็นรูปพาราโบลาดังแสดงในภาพ ตำแหน่งของวัตถุในแนวดิ่งจะถูกกำหนดเหมือนกับการคำนวณความสูงในการตกอย่างอิสระ ในขณะที่ตำแหน่งของวัตถุในแนวนอนจะถูกกำหนดเหมือนกับการคำนวณระยะทางในการเคลื่อนที่เส้นตรงด้วยความเร็วคงที่
ในตอนแรก ลูกแก้วเคลื่อนที่ในทิศทางแนวนอน ดังนั้นความเร็วเริ่มต้นของลูกแก้วในทิศทางแนวนอน (v)_ox) คือ 10 ม./วินาที ในขณะที่ความเร็วเริ่มต้นของลูกแก้วในทิศทางแนวตั้ง (v)_oy) คือ 0 เมตร/วินาที

ตำแหน่งของลูกแก้วในแนวราบ:
เป็นที่ทราบกันว่า:
ความเร็วของลูกแก้วในทิศทางแนวนอน (v)_x) = 10 ม./วินาที
ในการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ ความเร็วของวัตถุจะคงที่ ดังนั้นความเร็วเริ่มต้นของวัตถุจึงเท่ากับความเร็วของวัตถุเมื่อสิ้นสุดการเคลื่อนที่
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ถาม: ระยะห่างของวัตถุ
คำตอบ :
ความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที หมายความว่าลูกแก้วเคลื่อนที่ 10 เมตรทุก ๆ วินาที ระยะทางที่ลูกแก้วเคลื่อนที่ได้หลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที คือ 10 เมตร ดังนั้น ตำแหน่งแนวนอนของลูกแก้วจึงอยู่ที่ 10 เมตร

ตำแหน่งของลูกแก้วในแนวตั้ง:
วิเคราะห์แล้วเป็น การเคลื่อนที่ตกอย่างอิสระ.
เป็นที่ทราบกันว่า:
ช่วงเวลา (t) = 1 วินาที
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/s²²
ถาม: ความสูงของลูกหินหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที (h)
คำตอบ :
กำหนดค่า t และ g แล้วถามหาค่า h ดังนั้นสูตรที่ใช้คือ h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 เมตร
หลังจาก 1 วินาที ลูกแก้วจะตกลงมา 5 เมตร ความสูงของลูกแก้วเหนือพื้นดินคือ 10 เมตร – 5 เมตร = 5 เมตร

ตำแหน่งของลูกแก้วหลังจากเคลื่อนที่ไป 1 วินาที:
ตำแหน่งของลูกแก้วในแนวราบ (x) = 10 เมตร
ตำแหน่งของลูกแก้วในแนวดิ่ง (y) = 5 เมตร
ดังนั้นพิกัดตำแหน่งของลูกแก้วคือ (x ; y) = (10 ; 5)

[ภาษาอังกฤษ : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ – การหาตำแหน่งของวัตถุ]