వక్ర ఉపరితలాలపై యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

వక్ర ఉపరితలాలపై యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. A బిందువు వద్ద బంతి వేగం 6 మీ/సె, B బిందువు వద్ద బంతి వేగం √92 మీ/సె మరియు గురుత్వాకర్షణ వలన త్వరణం g = 10 మీ/సె² ^{అయితే} , B బిందువు యొక్క ఎత్తు (h) ఎంత?

తెలిసినది :

A బిందువు వద్ద బంతి వేగం (v_A) = 6 మీ/సె

బిందువు B వద్ద బంతి వేగం (v _B ) = √92 మీ/సె

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

A యొక్క ఎత్తు (h _A ) = 5.6 మీటర్లు

B యొక్క ఎత్తు (h _B ) = h

కావలసినది : బిందువు B యొక్క ఎత్తు (h)

పరిష్కారం:

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి

A బిందువు వద్ద, బంతి వేగం = 0, కాబట్టి బంతి గతి శక్తి = 0. KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

బంతి 5.6 మీటర్ల ఎత్తులో ఉంది, కాబట్టి బంతికి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 56 మీ + 0 = 56 మీ

తుది యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి

బిందువు B వద్ద, బంతి ఎత్తు h. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

బంతి యొక్క గతి శక్తి : KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m

తుది యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి

56 మీ = మీ (10 గం + 46)

56 = 10 గంటలు + 46

56 – 46 = 10 గంటలు

10 = 10 గంటలు

h = 10/10

h = 1 మీటర్లు

2.

తొలి వేగం = 0, గురుత్వాకర్షణ త్వరణం = 10 మీ/సె² అయితే ^, B ఎత్తు వద్ద వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = 50 మీ – 10 మీ = 40 మీ

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

కావలసినది : తుది వేగం (v _t )

పరిష్కారం:

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ సూత్ర సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి తుది వేగాన్ని (v _t ) లెక్కించండి :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 మీ

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 మీ/సె

1. "యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వం" అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వం అంటే, గురుత్వాకర్షణ వంటి సంరక్షక బలాలు మాత్రమే ఒక వివిక్త వ్యవస్థపై పనిచేస్తే, దాని మొత్తం యాంత్రిక శక్తి (గతిజ మరియు స్థితిజ శక్తుల మొత్తం) స్థిరంగా ఉంటుంది.
2. వక్ర ఉపరితలంపై కదులుతున్న వస్తువు (వక్ర వాలుపై దొర్లుతున్న బంతి వంటిది) తన యాంత్రిక శక్తిని ఎలా సంరక్షించుకుంటుంది?
   • సమాధానం: వస్తువు వక్ర ఉపరితలంపై క్రిందికి కదులుతున్నప్పుడు, స్థితిజ శక్తి గతిజ శక్తిగా మారుతుంది, కానీ ఘర్షణ వంటి సంరక్షక-రహిత బలాలు పని చేయడం లేదని భావిస్తే, మొత్తం యాంత్రిక శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది.
3. ఒక వక్ర ర్యాంప్ పైభాగం నుండి నిశ్చల స్థితి నుండి ఒక బంతిని వదిలితే, అది ర్యాంప్ పై నుండి క్రిందికి కదులుతున్నప్పుడు దాని గతిజ శక్తి ఎలా మారుతుంది?
   • సమాధానం: బంతి వాలుగా కిందికి కదులుతున్నప్పుడు దాని స్థితిశక్తి తగ్గి గతిశక్తిగా మారడం వలన, దాని గతిశక్తి పెరుగుతుంది.
4. ఘర్షణ లేనప్పుడు, వక్రంగా ఉన్న జారుడు బల్ల అడుగుభాగంలో ఒక బంతి వేగం, అదే ఎత్తు ఉన్న నిటారు జారుడు బల్ల అడుగుభాగంలోని బంతి వేగంతో పోలిస్తే ఎలా ఉంటుంది?
   • సమాధానం: వక్ర మరియు సరళ జారుడు బల్లలు రెండింటిలోనూ అడుగున బంతి వేగం ఒకే విధంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారడం అనేది ప్రయాణించిన మార్గంపై కాకుండా, కేవలం నిలువు ఎత్తుపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది.
5. ఒక నిర్దిష్ట ఎత్తు నుండి కిందికి దిగిన తర్వాత, వంపు తిరిగిన వాలుపైకి బంతిని దొర్లించినప్పుడు అది తన అసలు ఎత్తుకు ఎందుకు చేరుకోకపోవచ్చు?
   • సమాధానం: బంతిపై ఘర్షణ వంటి సంరక్షక-రహిత బలాలు పనిచేస్తుంటే, అవి చలనానికి వ్యతిరేకంగా పని చేస్తాయి, బంతి యొక్క యాంత్రిక శక్తిలో కొంత భాగాన్ని ఉష్ణం వంటి ఇతర రూపాల్లోకి మారుస్తాయి. ఫలితంగా, బంతి తన అసలు ఎత్తుకు చేరుకోవడానికి తగినంత శక్తిని కలిగి ఉండకపోవచ్చు.
6. రెండు వేర్వేరు ఆకారాల వస్తువులు (ఉదాహరణకు, ఒక గోళం మరియు ఒక ఘనం) ఒకే ఎత్తు నుండి ఒక వక్ర వాలుపై దొర్లకుండా జారితే, అవి అడుగున ఒకే వేగాన్ని కలిగి ఉంటాయా? ఎందుకు?
   • సమాధానం: అవును, అవి అడుగున ఒకే వేగాన్ని కలిగి ఉంటాయి. దొర్లడం మరియు ఘర్షణ లేవని భావిస్తే, వాటి వేగాన్ని నిర్ధారించే ఏకైక అంశం వాటి ఆకారం కాదు, ప్రారంభ ఎత్తు ఆధారంగా శక్తి నిత్యత్వ నియమం మాత్రమే.
7. ఒక ఉపరితలం యొక్క వక్రత, దానిపై కదులుతున్న వస్తువుపై పనిచేసే అభిలంబ బలాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?
   • సమాధానం: వస్తువు కదులుతున్నప్పుడు, వక్రత కారణంగా అభిలంబ బలం యొక్క దిశ మారుతుంది. పైకి పుటాకారంగా ఉండే ఉపరితలంపై (గిన్నె లోపలి భాగం వంటిది), వక్ర చలనానికి అవసరమైన అభికేంద్ర బలం కారణంగా అడుగు భాగంలో అభిలంబ బలం ఎక్కువగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, కుంభాకార ఉపరితలంపై, అత్యంత పైభాగంలో అభిలంబ బలం తగ్గవచ్చు లేదా సున్నా కూడా కావచ్చు (వస్తువు ఉపరితలాన్ని వదిలివేస్తుంది).
8. వక్ర ఉపరితలంపై యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణలో వక్రతా వ్యాసార్థం ఏ పాత్ర పోషిస్తుంది?
   • సమాధానం: వక్రతా వ్యాసార్థం స్వయంగా యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వాన్ని నేరుగా ప్రభావితం చేయదు. అయితే, అది అభిలంబ బలాన్ని మరియు, ఘర్షణ ఉన్నట్లయితే, సంరక్షక-రహిత బలాలకు నష్టపోయే శక్తి పరిమాణాన్ని ప్రభావితం చేయగలదు.
9. ఒక ట్రాక్‌కు మధ్యలో పల్లం (U-ఆకారపు వంపు వంటిది) ఉంటే, ఒక వస్తువు ఆ పల్లం గుండా అవతలి వైపుకు కదులుతున్నప్పుడు దాని యాంత్రిక శక్తి ఎలా మారుతుంది?
   • సమాధానం: వస్తువు పల్లంలోకి వెళ్ళేకొద్దీ దాని స్థితిశక్తి తగ్గి, గతిశక్తి పెరుగుతుంది. అది అవతలి వైపు పైకి వెళ్ళేకొద్దీ, దాని గతిశక్తి తగ్గి, స్థితిశక్తి పెరుగుతుంది. సంరక్షక బలాలు మాత్రమే పనిచేస్తే, చలనం అంతటా మొత్తం యాంత్రిక శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది.
10. ఒక వస్తువు వక్ర ఉపరితలంపై కదులుతున్నప్పుడు, దానికి స్థానాంతరణ మరియు భ్రమణ గతిశక్తి రెండూ ఉండగలవా?

• సమాధానం: అవును, బంతి వంటి వస్తువు వక్ర ఉపరితలంపై (జారకుండా) దొర్లినప్పుడు, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం కదలడం వల్ల స్థానాంతర గతిజ శక్తిని మరియు దాని అక్షం చుట్టూ తిరగడం వల్ల భ్రమణ గతిజ శక్తిని కలిగి ఉంటుంది.