భాగాలను ఉపయోగించి వెక్టర్లను కలపడం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

భాగాలను ఉపయోగించి వెక్టర్లను కలపడం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా మూడు వెక్టర్లు.

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

ఫలిత సదిశలు ఏమిటి?

తెలిసినది :

V ₁ = 30, V ₁ మరియు x అక్షం మధ్య కోణం = 30 ^o

V ₂ = 30, V ₂ మరియు x అక్షం మధ్య కోణం = 30 ^o

V ₃ = 40, V ₃ మరియు x అక్షం మధ్య కోణం = 0 ^o

కావలసినవి : ఫలిత వెక్టర్లు

పరిష్కారం:

వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం.

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉంటుంది కాబట్టి ఇది ధనాత్మకం.

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపుకు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం.

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉంటుంది కాబట్టి ఇది ధనాత్మకం.

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం.

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

ఫలిత వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

ఫలిత వెక్టర్ :

2. రెండు బలాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉన్నాయి, F ₁ = 12 N మరియు F ₂ = 5 N. ఈ రెండు బలాల ఫలిత బలం ఎంత?

తెలిసినది :

బలం 1 (F ₁ ) = 12 న్యూటన్

బలం 2 (F ₂ ) = 5 న్యూటన్

కావలసినవి : ఫలిత సదిశలు ( ΣF)

పరిష్కారం:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 న్యూటన్

3. మూడు వెక్టర్లు,

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

ఫలిత సదిశలను కనుగొనండి.

తెలిసినది :

v ₁ = 30, ఇది రుణాత్మక x అక్షం గురించి 30 ^° కోణంలో తిరుగుతుంది

v ₂ = 30, ధనాత్మక x అక్షం గురించి 30 ^o చేస్తుంది

v ₃ = 40, ధనాత్మక x అక్షం గురించి 0 ^o చేస్తుంది

కావలసినవి : ఫలిత వెక్టర్లు

పరిష్కారం:

వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపుకు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు ) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం. )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం. )

v _3y = v ₃ పాపం 0 ^o = (40)(0) = 0

ఫలిత వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

ఫలిత వెక్టర్:

4. క్రింది పటంలో చూపిన మూడు సదిశల ఫలిత సదిశ ఏమిటి?

తెలిసినది :

F₁ = 3 న్యూటన్లు, తయారీలను 60^o ధనాత్మక x అక్షం గురించి

F ₂ = 3 న్యూటన్లు, ఇది రుణాత్మక x అక్షం గురించి 0 ^° చేస్తుంది.

F ₃ = 6 న్యూటన్లు , ఇది రుణాత్మక y అక్షం చుట్టూ 60 ^{° కోణంలో తిరుగుతుంది}

కావలసినది: ఫలిత వెక్టర్

పరిష్కారం:

వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు ) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు ) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ y అక్షం వెంబడి ( క్రిందికి ) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం )

ఫలిత వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

ఫలిత వెక్టర్:

5. రెండు బలాలు, F ₁ = 15 N మరియు F 2 ₌ 9 N. రెండు సదిశల మధ్య కోణం 60°. సదిశల ఫలితం ఎంత?

కావలసినది :

బలం 1 (F ₁ ) = 15 న్యూటన్

బలం 2 (F ₂ ) = 9 న్యూటన్

కోణం ( θ) = 60 ^°

కావలసినది: ఫలిత వెక్టర్

పరిష్కారం:

6. కింది చిత్రంలో చూపిన మూడు సదిశల ఫలితం ఏమిటి?

తెలిసినది :

F₁ = 20 న్యూటన్, F మధ్య కోణం₁ మరియు x అక్షం = 0

F ₂ = 20 న్యూటన్లు, F ₂ మరియు x అక్షం మధ్య కోణం = 60

F ₃ = 24 న్యూటన్లు, F ₃ మరియు x అక్షం మధ్య కోణం = 60

కావలసినది: ఫలిత వెక్టర్

పరిష్కారం:

వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక x అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు ) ఉంటుంది కాబట్టి ఇది ధనాత్మకం.

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపుకు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం.

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (పైకి) ఉంటుంది కాబట్టి ఇది ధనాత్మకం.

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపుకు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం.

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N రుణాత్మకం ఎందుకంటే ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ రుణాత్మక y అక్షం వెంబడి ( క్రిందికి ) ఉంటుంది.

ఫలిత వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

ఫలిత వెక్టర్: