Rotacijsko gibanje – težave in rešitve

Rotacijsko gibanje – težave in rešitve

Navor

1. Nosilec dolg 140 cm. Na nosilec delujejo tri sile: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N in F3 = 40 N, _katerih smer in položaj sta prikazana na spodnji sliki. Kolikšen navor povzroči vrtenje nosilca okoli težišča nosilca?

Znano:

Središče mase se nahaja v središču žarka.

Dolžina nosilca (d) = 140 cm = 1.4 metra

Sila 1 (F₁) = 20 N, ročica 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 metra

Sila 2 (F₂) = 10 N, ročica 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Sila 3 (F₃) = 40 N, ročica 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 metra

Išče se: Velikost navora

Rešitev:

Navor 1 vrti nosilec v smeri urinega kazalca, zato je navoru 1 dodeljen negativni predznak.

τ₁ = F.₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Navor 2 vrti žarek v nasprotni smeri urinega kazalca, zato ima navor 2 pozitiven predznak.

τ₂ = F.₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Navor 3 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato ima navor 3 pozitiven predznak.

τ₃ = F.₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Neto navor:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Velikost navora je 39 N m. Smer vrtenja nosilca je v smeri urinega kazalca, zato mu je dodeljen negativni predznak.

2. Kolikšen je neto navor, ki deluje na nosilec? Os vrtenja v točki D. (sin 53^o = 0.8)

Znano:

Os vrtenja v točki D

F₁ = 10 N in l₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metra

F₂ = 10√2 N in l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metra

F₃ = 20 N in l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 metra

Išče se: Neto navor

Rešitev:

τ₁ = F.₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Navor 1 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 1 dodelimo pozitivni predznak)

τ₂ = F.₂ l₂ = (10√2 N)(0.1√2 m) = -2 Nm

(Navor 2 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato navoru 2 dodelimo negativni predznak)

τ₃ = F.₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Navor 3 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 3 dodelimo pozitivni predznak)

Neto navor:

Στ = τ₁ – τ₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Kolikšen je neto navor, če je os vrtenja v točki D. (sin 53^o = 0.8)

Znano:

Os vrtenja v točki D.

Razdalja med F₁ in os vrtenja (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Razdalja med F₂ in os vrtenja (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Razdalja med F₃ in os vrtenja (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 Newtonov

F² = _10√² Newtona

F³ = ₂₀ Newtonov

Sin 53 ^o = 0.8

Išče se: Neto navor

Rešitev:

Moment sile 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Navor 1 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 1 dodelimo pozitivni predznak)

Moment sile 2

τ₂ = (F₂)(r_BD brez 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Navor 2 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato navoru 2 dodelimo negativni predznak)

Moment sile 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Navor 2 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 3 dodelimo pozitivni predznak)

Neto navor:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metra

Vztrajnostni moment

4. Dolžina žice = 12 m, l₁ = 4 m. Zanemarite maso žice. Kolikšna je inercijski trenutek sistema.

Znano:

Masa od A (m_A) = 0.2 kg

Masa B (m_B) = 0.6 kg

Razdalja med A in osjo vrtenja (r_A) = 4 metrov

Razdalja med B in osjo vrtenja (r_B) = 12 – 4 = 8 metrov

Išče se: Vztrajnostni moment sistema

Rešitev:

Vztrajnostni moment A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Vztrajnostni moment B

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg m²

Vztrajnostni moment sistema:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotacijska dinamika

5. Na vrvico, ovito okoli škripca z maso M = 5 kg in polmerom R = 20 cm, deluje sila 6 N. Kolikšen je kotni pospešek škripca? Škripec je enakomeren valj.

Znano:

Sila (F) = 6 Newtonov

Masa (M) = 5 kg

Polmer (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Išče se: Kotni pospešek (α)

Rešitev:

Moment sile:

τ = FR = (6 Newtonov)(0.2 metra) = 1.2 Nm

Vztrajnostni moment za poln valj:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m²)

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m².

Kotni pospešek:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Blok z maso = 4 kg visi z vrvice, ovite okoli škripca z maso = 8 kg in polmerom R = 10 cm. Pospešek zaradi gravitacije je 10 ms.^-2 Kolikšen je linearni pospešek bloka? Škripec je enakomeren valj.

Znano:

Masa škripca (m) = 8 kg

Polmer škripca (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa bloka (m) = 4 kg

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Teža (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtona

Išče se: Pospešek prostega padca bloka

Rešitev:

Vztrajnostni moment trdnega valja:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Moment sile:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Kotni pospešek:

Στ = Iα

4 = 0.04α

α = 4 / 0.04 = 100

Linearni pospešek:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Blok z maso m visi z vrvice, ovite okoli škripca. Če je prosti pad pospešek bloka je am/s², kakšen je vztrajnostni moment jermenice..

Znano:

teža = w = mg

Ročica = R

Kotni pospešek = α

Pospešek prostega padca bloka = a ms^-2

Zaželeno: Vztrajnostni moment jermenice (I)

Rešitev:

Povezava med linearnim pospeškom in kotnim pospeškom:

a = Rα

α = a / R

Vztrajnostni moment:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Kotni moment

8. Delec z maso 0.2 grama se giblje v krogu s konstantno hitrostjo 10 m/s. Polmer kroga je 3 cm. Kolikšen je kotni moment delca?

Znano:

Masa delcev (m) = 0.2 grama = 2 x 10^-4 kg

Kotna hitrost (ω) = 10 rad s^-1

Polmer (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 metrov

Išče se: Kotni moment delca

Rešitev:

Enačba kotnega momenta:

L = Iω

I = kotni moment, I = vztrajnostni moment, ω = kotna hitrost

Vztrajnostni moment (za delce):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Kotni moment:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴ )(10 rad ^{s⁻¹ )} = 18 x ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

1. Kaj je rotacijsko gibanje?
   • OdgovorRotacijsko gibanje se nanaša na gibanje predmeta okoli fiksne osi. To je vrsta gibanja, pri katerem se vsaka točka predmeta giblje v krogu okoli osi.
2. Kakšna je povezava med linearno hitrostjo in kotno hitrostjo pri rotacijskem gibanju?
   • OdgovorLinearna hitrost ($v$) točke v vrtečem se objektu je neposredno sorazmerna z njeno oddaljenostjo ($r$) od osi vrtenja in kotne hitrosti ($\omega$) objekta. Relacija je podana z $v=r\cdot \omega$.
3. Kaj je vztrajnostni moment in kako je povezan z rotacijskim gibanjem?
   • OdgovorVztrajnostni moment: rotacijski analog mase pri linearnem gibanju. Meri upor telesa na spremembe v njegovem rotacijskem stanju. Vztrajnostni moment je odvisen tako od mase telesa kot od njene porazdelitve glede na os vrtenja.
4. Kako se Newtonov prvi zakon gibanja uporablja za rotacijsko gibanje?
   • OdgovorTako kot se objekt v linearnem gibanju giblje, razen če nanj deluje zunanja sila, tako bo tudi objekt v rotacijskem gibanju ostal v tem stanju, razen če nanj deluje zunanji navor.
5. Kakšen je pomen polmera giracije?
   • OdgovorPolmer vrtenja meri porazdelitev mase objekta stran od njegove vrtilne osi. V bistvu opisuje, kako daleč od osi mora biti vsa masa objekta skoncentrirana, da ima enak vztrajnostni moment kot prvotna porazdelitev.
6. Kaj je kotni moment in kako se ohranja?
   • OdgovorKotni moment je rotacijski ekvivalent linearnega momenta. Je produkt vztrajnostnega momenta telesa in njegove kotne hitrosti. V zaprtem sistemu ostane skupni kotni moment konstanten, razen če nanj deluje zunanji navor, kar poudarja ohranitev kotnega momenta.
7. Kako navor vpliva na rotacijsko gibanje?
   • OdgovorNavor je rotacijski ekvivalent sile. Povzroča spremembe v rotacijskem gibanju predmeta. Razmerje je podana z Newtonovim drugim zakonom za vrtenje: $\tau =I\cdot \alpha$, Kjer $\tau$ je navor, $I$ je vztrajnostni moment in $\alpha$ je kotni pospešek.
8. Kako se središče mase razlikuje od središča vrtenja?
   • OdgovorČeprav se lahko ujemata, je središče mase točka, kjer se za namene izračunov v linearnem gibanju lahko predpostavi, da je skoncentrirana celotna masa predmeta, medtem ko je središče vrtenja točka (ali os), okoli katere se predmet vrti.
9. Kakšna je vloga centripetalne sile pri rotacijskem gibanju?
   • OdgovorCentripetalna sila je neto sila, ki deluje na predmet, ki se giblje po krožni poti, usmerjena proti središču vrtenja. Odgovorna je za ohranjanje predmeta na njegovi ukrivljeni poti in preprečevanje njegovega gibanja v ravni črti zaradi vztrajnosti.

10. Kakšna je povezava med rotacijsko kinetično energijo in vztrajnostnim momentom ter kotno hitrostjo?

    • OdgovorRotacijska kinetična energija je energija, ki nastane pri vrtenju predmeta okoli osi. Podana je s formulo: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Kjer $I$ je vztrajnostni moment in $\omega$ je kotna hitrost.