Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve

Rotacijsko gibanje – težave in rešitve

Navor

1. Nosilec dolg 140 cm. Na nosilec delujejo tri sile: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N in F3 = 40 N, _katerih smer in položaj sta prikazana na spodnji sliki. Kolikšen navor povzroči vrtenje nosilca okoli težišča nosilca?

Znano: Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve 1

Središče mase se nahaja v središču žarka.

Dolžina nosilca (d) = 140 cm = 1.4 metra

Sila 1 (F1 ₎ = 20 N, ročica 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Sila 2 (F2 ₎ = 10 N, ročica 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Sila 3 (F3 ₎ = 40 N, ročica 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Želeno: Velikost navora

Rešitev:

Navor 1 vrti nosilec v smeri urinega kazalca, zato je navoru 1 dodeljen negativni predznak.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Navor 2 vrti žarek v nasprotni smeri urinega kazalca, zato ima navor 2 pozitiven predznak.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 m) = 3 N m

Navor 3 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato ima navor 3 pozitiven predznak.

τ³ = F³ _l³₌ (40 N)(0.7 m) = -28 Nm

Neto navor:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Velikost navora je 39 N m. Smer vrtenja nosilca je v smeri urinega kazalca, zato mu je dodeljen negativni predznak.

2. Kolikšen je neto navor, ki deluje na nosilec. Os vrtenja v točki D? (sin 53 ^o = 0.8)

Znano:

Os vrtenja v točki D Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve 2

F ₁ = 10 N in l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metra

F ₂ = 10√2 N in l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metra

F ₃ = 20 N in l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metra

Želeni: Neto navor

Rešitev:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Navor 1 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 1 dodelimo pozitivni predznak)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Navor 2 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato navoru 2 dodelimo negativni predznak)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Navor 3 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 3 dodelimo pozitivni predznak)

Neto navor:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Kolikšen je neto navor, če je os vrtenja v točki D (sin 53 ^o = 0.8)

Znano:

Os vrtenja v točki D. Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve 3

Razdalja med F1 _in osjo vrtenja (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Razdalja med F2 _in osjo vrtenja (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Glej tudi Mehanska energija – problemi in rešitve

Razdalja med F3 _in osjo vrtenja (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newtonov

F² = _10√² Newtona

F³ = ₂₀ Newtonov

Sin 53 ^o = 0.8

Želeni: Neto navor

Rešitev:

Moment sile 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Navor 1 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 1 dodelimo pozitivni predznak)

Moment sile 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Navor 2 vrti žarek v smeri urinega kazalca, zato navoru 2 dodelimo negativni predznak)

Moment sile 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Navor 2 vrti nosilec v nasprotni smeri urinega kazalca, zato navoru 3 dodelimo pozitivni predznak)

Neto navor:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metra

Vztrajnostni moment

4. Dolžina žice = 12 m, l ₁ = 4 m. Zanemarite maso žice. Kolikšen je vztrajnostni moment sistema.

Znano: Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve 4

Masa A (m _A ) = 0.2 kg

Masa B (m _B ) = 0.6 kg

Razdalja med A in osjo vrtenja (r _A ) = 4 metre

Razdalja med B in osjo vrtenja (r _B ) = 12 – 4 = 8 metrov

Iščemo: Vztrajnostni moment sistema

Rešitev:

Vztrajnostni moment A

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Vztrajnostni moment B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Vztrajnostni moment sistema:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotacijska dinamika

5. Na vrvico, ovito okoli škripca z maso M = 5 kg in polmerom R = 20 cm, deluje sila 6 N. Kolikšen je kotni pospešek škripca? Škripec je enakomeren valj.

Znano:

Sila (F) = 6 Newtonov

Masa (M) = 5 kg

Polmer (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Iščemo: Kotni pospešek (α)

Rešitev:

Moment sile:

τ = FR = (6 Newtonov)(0.2 metra) = 1.2 Nm

Vztrajnostni moment za poln valj:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Kotni pospešek:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Blok z maso = 4 kg visi z vrvice, ovite okoli škripca z maso = 8 kg in polmerom R = 10 cm. Gravitacijski pospešek je 10 ms ^-2 . Kolikšen je linearni pospešek bloka? Škripec je enakomeren valj.

Znano:

Masa škripca (m) = 8 kg

Polmer škripca (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa bloka (m) = 4 kg

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Glej tudi Hitrost mehanskih valov - problemi in rešitve

Teža (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtona

Iščemo: pospešek prostega padca bloka

Rešitev:

Vztrajnostni moment trdnega valja:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Moment sile:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Kotni pospešek:

Στ = Iα

4 = 0.04α

α = 4 / 0.04 = 100

Linearni pospešek:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Blok z maso m visi z vrvice, ovite okoli škripca. Če je pospešek prostega padca bloka am/s² ^, kolikšen je vztrajnostni moment škripca?

Znano:

teža = w = mg Rotacijsko gibanje – problemi in rešitve 6

Ročica = R

Kotni pospešek = α

Pospešek prostega padca bloka = a ms ^-2

Iščemo: Vztrajnostni moment jermenice (I)

Rešitev:

Povezava med linearnim pospeškom in kotnim pospeškom:

a = Rα

α = a / R

Vztrajnostni moment:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Kotni moment

8. Delec z maso 0.2 grama se giblje v krogu s konstantno hitrostjo 10 m/s. Polmer kroga je 3 cm. Kolikšen je kotni moment delca?

Znano:

Masa delca (m) = 0.2 grama = 2 x ^10⁻⁴ kg

Kotna hitrost (ω) = 10 rad s ^-1

Polmer (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metrov

Iščemo: kotni moment delca

Rešitev:

Enačba kotnega momenta:

L = Iω

I = kotni moment, I = vztrajnostni moment, ω = kotna hitrost

Vztrajnostni moment (za delce):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Kotni moment:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴ )(10 rad ^s⁻¹⁾ = 18 x ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

Kaj je rotacijsko gibanje?
- OdgovorRotacijsko gibanje se nanaša na gibanje predmeta okoli fiksne osi. To je vrsta gibanja, pri katerem se vsaka točka predmeta giblje v krogu okoli osi.
Kakšna je povezava med linearno hitrostjo in kotno hitrostjo pri rotacijskem gibanju?
- OdgovorLinearna hitrost ( $v$ ) točke v vrtečem se objektu je neposredno sorazmerna z njeno oddaljenostjo ( $r$ ) od osi vrtenja in kotne hitrosti ( $ω$ ) objekta. Relacija je podana z $v = r \cdot ω$ .
Kaj je vztrajnostni moment in kako je povezan z rotacijskim gibanjem?
- OdgovorVztrajnostni moment: rotacijski analog mase pri linearnem gibanju. Meri upor telesa na spremembe v njegovem rotacijskem stanju. Vztrajnostni moment je odvisen tako od mase telesa kot od njene porazdelitve glede na os vrtenja.
Kako se Newtonov prvi zakon gibanja uporablja za rotacijsko gibanje?
- OdgovorTako kot se objekt v linearnem gibanju giblje, razen če nanj deluje zunanja sila, tako bo tudi objekt v rotacijskem gibanju ostal v tem stanju, razen če nanj deluje zunanji navor.
Kakšen je pomen polmera giracije?
- OdgovorPolmer vrtenja meri porazdelitev mase objekta stran od njegove vrtilne osi. V bistvu opisuje, kako daleč od osi mora biti vsa masa objekta skoncentrirana, da ima enak vztrajnostni moment kot prvotna porazdelitev.
Kaj je kotni moment in kako se ohranja?
- OdgovorKotni moment je rotacijski ekvivalent linearnega momenta. Je produkt vztrajnostnega momenta telesa in njegove kotne hitrosti. V zaprtem sistemu ostane skupni kotni moment konstanten, razen če nanj deluje zunanji navor, kar poudarja ohranitev kotnega momenta.
Kako navor vpliva na rotacijsko gibanje?
- OdgovorNavor je rotacijski ekvivalent sile. Povzroča spremembe v rotacijskem gibanju predmeta. Razmerje je podana z Newtonovim drugim zakonom za vrtenje: $τ = I \cdot α$ , Kjer $τ$ je navor, $I$ je vztrajnostni moment in $α$ je kotni pospešek.
Kako se središče mase razlikuje od središča vrtenja?
- OdgovorČeprav se lahko ujemata, je središče mase točka, kjer se za namene izračunov v linearnem gibanju lahko predpostavi, da je skoncentrirana celotna masa predmeta, medtem ko je središče vrtenja točka (ali os), okoli katere se predmet vrti.
Kakšna je vloga centripetalne sile pri rotacijskem gibanju?
- OdgovorCentripetalna sila je neto sila, ki deluje na predmet, ki se giblje po krožni poti, usmerjena proti središču vrtenja. Odgovorna je za ohranjanje predmeta na njegovi ukrivljeni poti in preprečevanje njegovega gibanja v ravni črti zaradi vztrajnosti.
Kakšna je povezava med rotacijsko kinetično energijo in vztrajnostnim momentom ter kotno hitrostjo?
- OdgovorRotacijska kinetična energija je energija, ki nastane pri vrtenju predmeta okoli osi. Podana je s formulo: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Kjer $I$ je vztrajnostni moment in $ω$ je kotna hitrost.