Dinamika rotacijskih gibanj – problemi in rešitve

1. Jermenica z vztrajnostnim momentom I = 2/5 MR² ^ima maso 2 kg. Če je moment sile na jermenici 4 Nm, kolikšen je linearni pospešek jermenice? Pospešek zaradi gravitacije je g = 10 ^ms⁻².

Znano : Dinamika rotacijskih gibanj – problemi in rešitve 1

Vztrajnostni moment jermenice (I) = 2/5 MR ²

Masa škripca (M) = 2 kg

Moment sile (τ) = 4 Nm

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Polmer škripca (R) = 20 cm = 0.2 m

Iščemo: linearni pospešek (a)

Rešitev:

Vztrajnostni moment škripca (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m ²

Kotni pospešek (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Linearni pospešek (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Linearni pospešek roba škripca je 25 ms ^-2.

2. Pospešek škripca je 2 ms ^-2 . Pospešek zaradi gravitacije je g = 10 ms ^-2 . Kolikšen je vztrajnostni moment škripca?

Znano:

Linearni pospešek roba škripca (a) = 2 ms^-2

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Polmer škripca (R) = 10 cm = 0.1 m

Teža predmeta (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Iščem: Vztrajnostni moment škripca

Glej tudi Trk in ohranitev mehanske energije – sonde in rešitve

Rešitev:

Moment sile (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

Kotni pospešek jermenice (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

Vztrajnostni moment jermenice (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Škripec je pospešil s časom 1 ms ^-2 . Če je polmer škripca 10 cm, kolikšen je vztrajnostni moment škripca?

Znano:

Linearni pospešek roba škripca (a) = 1 ms^-2

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Polmer škripca (R) = 10 cm = 0.1 m

Sila (F) = 4 N

Iščemo: Vztrajnostni moment jermenice

Rešitev:

Moment sile (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Kotni pospešek jermenice (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

Vztrajnostni moment škripca (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Kaj je rotacijski ekvivalent mase pri linearnem gibanju?
- Odgovor: Rotacijski ekvivalent mase pri linearnem gibanju je vztrajnostni moment, pogosto označen kot $I$ .
Kakšna je povezava med navorom in rotacijskim gibanjem in silo pri linearnem gibanju?
- Odgovor: Navor je rotacijski ekvivalent sile. Medtem ko sila povzroča linearni pospešek v telesih, navor povzroča kotni pospešek v vrtečih se telesih. Navor se izračuna kot produkt uporabljene sile in pravokotne razdalje od osi vrtenja do točke delovanja sile.
Kakšna je povezava med kotnim pospeškom, navorom in vztrajnostnim momentom?
- Odgovor: Razmerje je podano z Newtonovim drugim zakonom za vrtenje: $τ = I α$ , Kjer $τ$ je navor, $I$ je vztrajnostni moment in $α$ je kotni pospešek.
Če se vztrajnostni moment vrtečega se predmeta poveča, medtem ko zunanji navor ostane nespremenjen, kaj se zgodi s kotnim pospeškom?
- Odgovor: Če se vztrajnostni moment poveča in zunanji navor ostane konstanten, se bo kotni pospešek zmanjšal.
V čem sta koncepta linearnega in kotnega momenta analogna pri linearnem in rotacijskem gibanju?
- Odgovor: Linearni moment (podan z $p = m v$ , Kjer $m$ je masa in $v$ je hitrost) je produkt mase in linearne hitrosti, medtem ko je kotni moment (podan z $L = I ω$ , Kjer $I$ je vztrajnostni moment in $ω$ je kotna hitrost) je produkt vztrajnostnega momenta in kotne hitrosti.
Kaj pomeni ohranitev kotnega momenta?
- Odgovor: Ohranitev kotnega momenta pravi, da v odsotnosti zunanjih navorov skupni kotni moment zaprtega sistema ostane konstanten.
Zakaj se umetnostni drsalci vrtijo hitreje, ko med pirueto skrčijo roke?
- Odgovor: Ko umetnostni drsalci skrčijo roke, zmanjšajo svoj vztrajnostni moment. Zaradi ohranitve kotnega momenta se mora ob zmanjšanju vztrajnostnega momenta kotna hitrost (ali hitrost vrtenja) povečati, da se kotni moment ohrani konstanten.
Kako se rotacijska kinetična energija predmeta primerja z njegovo linearno kinetično energijo?
- Odgovor: Rotacijska kinetična energija (podana z 1/2 $I ω^{2}$ ) je analogna linearni kinetični energiji (podani z 1/2 $m v^{2}$ ). Prvi je povezan z vrtenjem objekta, drugi pa z njegovim linearnim gibanjem.
Ali lahko ima telo hkrati rotacijsko in linearno kinetično energijo?
- Odgovor: Da, predmet ima lahko tako rotacijsko kot linearno kinetično energijo. Na primer, kotalno kolo ima rotacijsko kinetično energijo zaradi vrtenja in linearno kinetično energijo zaradi gibanja naprej.
Če se polmer vrtečega se kolesa podvoji, medtem ko njegova kotna hitrost ostane konstantna, kako se spremeni njegov vztrajnostni moment?

Odgovor: Vztrajnostni moment trdnega diska je podan z 1/2 $m r^{2}$ , Kjer $m$ je masa in $r$ je polmer. Če se polmer podvoji in masa ostane konstantna, se vztrajnostni moment poveča za faktor štiri.