Vztrajnostni moment delcev in togih teles – problemi in rešitve

Vztrajnostni moment delca

1. 100-gramska krogla je pritrjena na en konec vrvice dolžine 30 cm. Kolikšen je vztrajnostni moment krogle okoli vrtilne osi AB? Maso vrvice zanemarimo.

Znano:

Os vrtenja pri AB

Masa krogle (m) = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Razdalja med kroglo in osjo vrtenja (r) = 30 cm = 0.3 m

Iščem: Vztrajnostni moment krogle (I)

Rešitev:

I = mr² ^{= (0.1 kg) (} 0.3 m²

I = (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m²

2. 100-gramska krogla, m1 _, in 200-gramska krogla, m2 _, sta povezani s palico dolžine 60 cm. Maso palice zanemarimo. Os vrtenja se nahaja v središču palice. Kolikšen je vztrajnostni moment krogle glede na os vrtenja?

Znano:

Masa krogle 1 (m1 ₎ = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Razdalja med kroglo 1 in osjo vrtenja (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Masa krogle (m² ₎ = 200 gramov = 200/1000 = 0.2 kg

Razdalja med kroglo 2 in osjo vrtenja (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Iščemo: vztrajnostni moment kroglic

Odgovor:

I = m1 _/ r1 ^/2 ₊ m2 ^/ _r2 / ₂

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.2 kg)( 0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.2 kg)( 0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m² + 0.018 kg ^m²

I = 0.027 kg ^m²

3. 200-gramska krogla, m ₁ , in 100-gramska krogla, m _2, sta povezani s palico dolžine 60 cm. Maso palice zanemarimo. Os vrtenja leži v točki krogle m _2. Kolikšen je vztrajnostni moment krogel? Maso palice zanemarimo.

Znano:

Masa krogle 1 (m1 ₎ = 200 gramov = 200/1000 = 0.2 kg

Razdalja med kroglo 1 in osjo vrtenja (r1 ₎ = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Masa krogle 2 (m ₂ ) = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Razdalja med kroglo 2 in osjo vrtenja (r2 ₎ = 0 m

Iščemo: vztrajnostni moment kroglic

Rešitev:

I = m1 _/ r1 ^/2 ₊ m2 ^/ _r2 / ₂

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ^² + (0.2 kg)(0 ) ^²

I = (0.2 kg)( 0.36 ^m² ) + 0

I = 0.072 kg ^m²

4. Masa vsake kroglice, povezane z vrvico, je 100 gramov. Dolžina vrvice je 60 cm, širina vrvice pa 30 cm. Kolikšen je vztrajnostni moment kroglice glede na os vrtenja? Maso vrvice zanemarimo.

Znano:

Masa krogle = m1 ₌ m2 ₌ m3 ₌ m4 ₌ 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Razdalja med kroglo in osjo vrtenja (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Razdalja med kroglo 2 in osjo vrtenja (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Razdalja med kroglo 3 in osjo vrtenja (r3 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Razdalja med kroglo 4 in osjo vrtenja (r4 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Znano: Vztrajnostni moment

Rešitev:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m)² + (0.1 kg)(0.3 m) ^² + (0,1 kg)(0,3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.036 kg ^m²

Vztrajnostni moment togega predmeta

5. Kolikšen je vztrajnostni moment 2 kg dolge enakomerne palice dolžine 2 m? Os vrtenja se nahaja v središču palice.

Znano:

Masa palice (M) = 2 kg

Dolžina palice (L) = 2 m

Iščemo: Vztrajnostni moment

Rešitev:

Formula za vztrajnostni moment, ko se os vrtenja nahaja v središču dolge enakomerne palice:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ^²

I = (1/12) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/12)(8 kg ^m² )

I = 8/12 kg ^m²

I = 2/3 kg ^m²

6. Kolikšen je vztrajnostni moment 2 kg dolge enakomerne palice dolžine 2 m? Os vrtenja se nahaja na enem koncu palice.

Znano:

Masa palice (M) = 2 kg

Dolžina toge palice (L) = 2 m

Iščemo: Vztrajnostni moment

Rešitev:

Formula za vztrajnostni moment, ko se os vrtenja nahaja na enem koncu palice:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ^²

I = (1/3) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/3)(8 kg ^m² )

I = 8/3 kg ^m²

7. 10 kg velik valj s polmerom 0.1 m. Os vrtenja se nahaja v središču valja, kot je prikazano na spodnji sliki. Kolikšen je vztrajnostni moment valja?

Znano:

Masa trdnega valja (M) = 10 kg

Polmer valja (L) = 0.1 m

Iščemo: Vztrajnostni moment

Iščemo: Vztrajnostni moment

Rešitev:

Formula za vztrajnostni moment, ko je os vrtenja v središču valja:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ^²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 ^m² )

I = (1/2)(0.1 kg ^m² )

I = 0.05 kg ^m²

8. Enakomerna krogla z maso 20 kg in dolžino 0.1 m. Os vrtenja v središču krogle je prikazana na spodnji sliki.

Znano:

Masa krogle (M) = 20 kg

Polmer krogle (L) = 0.1 m

Išče se: vztrajnostni moment

Rešitev:

Formula za vztrajnostni moment, ko se os vrtenja nahaja v središču krogle:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ^²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 ^m² )

I = (2/5)(0.2 kg ^m² )

I = 0.4/5 kg ^m²

I = 0.08 kg ^m²

9. Tanka pravokotna plošča z maso 2 kg, dolžine 0.5 m in širine 0.2 m. Os vrtenja se nahaja v središču pravokotne plošče, prikazane na spodnji sliki. Kolikšen je vztrajnostni moment pravokotnika?

Znano:

Masa pravokotne plošče (M) = 2 kg

Dolžina plošče (a) = 0.5 m

Širina plošče (b) = 0.2 m

Išče se: Vztrajnostni moment

Rešitev:

Formula za vztrajnostni moment, ko je os vrtenja v središču plošče:

I = (1/12 ) M ( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg ^m²