Vzmeti zaporedno in vzporedno vezane – težave in rešitve

Vzmeti zaporedno in vzporedno vezane – težave in rešitve

1. Predmet, težak 160 gramov, je pritrjen na en konec vzmeti, sprememba dolžine vzmeti pa je 4 cm. Kolikšna je sprememba dolžine treh vzmeti, povezane zaporedno in vzporedno, kot je prikazano na spodnji sliki?

Znano:

Sprememba dolžine vzmeti (Δx) = 4 cm = 0.04 m

Masa (m) = 160 gramov = 0.16 kg

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/s²

Teža (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newtona

Išče se: Sprememba dolžine treh vzmeti (Δx)

Rešitev:

Enačba Hookov zakon :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Tri vzmeti imajo enako konstanto, k = 40 N/m.

Določite ekvivalentno konstanto:

Pomlad 2 (k₂) in vzmet 3 (k₃) tara, priključena vzporedno. Ekvivalentna konstanta:

k₂₃ = k₂ + do₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Pomlad 1 (k₁) in vzmet 23 (k₂₃) so zaporedno povezani. Ekvivalentna konstanta:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Določite spremembo dolžine treh vzmeti:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tri vzmeti z enako konstanto, vezane zaporedno in vzporednoin 2 kg težek predmet, pritrjen na enem koncu vzmeti, kot je prikazano na spodnji sliki. Konstanta vzmeti je k₁ = k₂ = k₃ = 300 N/m. Kolikšna je sprememba dolžine treh vzmeti? Pospešek zaradi gravitacije je g = 10 ms^-2.

Znano:

Konstanta vzmeti k₁ = k₂ = k₃ = 300 Nm^-1

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms^-2

Masa predmeta (m) = 2 kg

Teža predmeta (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonov

Išče se: Sprememba dolžine treh vzmeti (Δx)

Rešitev:

Določite ekvivalentno konstanto:

Pomlad 1 (k₁) in vzmet 2 (k₂) so vzporedno povezani. Ekvivalentna konstanta:

k₁₂ = k₁ + do₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Pomlad 3 (k₃) in vzmet 12 (k₁₂) so zaporedno povezani. Ekvivalentna konstanta:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Določite spremembo dolžine treh vzmeti:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tri vzmeti so povezane zaporedno in vzporedno, kot je prikazano na spodnji sliki. Če je konstanta vzmeti k = 50 Nm^-1 in masa 400 gramov, pritrjena na en konec vzmeti. Kolikšna je sprememba dolžine treh vzmeti?

Znano:

Konstanta vzmeti 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Konstanta vzmeti 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Konstanta vzmeti 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Masa predmeta (m) = 400 gramov = 0.4 kg

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/s²

Teža predmeta (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newtonov

Išče se: Sprememba dolžine (Δx)

Rešitev:

Določite ekvivalentno konstanto:

Pomlad 1 (k₁) in vzmet 2 (k₂) so vzporedno povezani. Ekvivalentna konstanta:

k₁₂ = k₁ + do₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Pomlad 3 (k₃) in vzmet 12 (k₁₂) so zaporedno povezani. Ekvivalentna konstanta:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Določite spremembo dolžine treh vzmeti:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

1. Kako zaporedno združevanje vzmeti vpliva na skupno konstanto vzmeti?
   • Odgovor: Ko so vzmeti združene zaporedno, se skupna konstanta vzmeti zmanjša. Recipročna vrednost ekvivalentne konstante vzmeti je vsota recipročnih vrednosti posameznih konstant vzmeti: 1/k =1/k_{1​ ​}+ 1 /k₂​.
2. Kako se spremeni skupna konstanta vzmeti, če so vzmeti povezane vzporedno?
   • Odgovor: Z vzporednim združevanjem vzmeti dobimo skupno konstanto vzmeti, ki je enaka vsoti posameznih konstant vzmeti: k ​= k₁ ​+ k_2​.
3. Če sta dve enaki vzmeti razporejeni zaporedno, kako se skupna konstanta vzmeti primerja s konstanto vzmeti posamezne vzmeti?
   • Odgovor: Skupna konstanta vzmeti bo polovica konstante vzmeti ene od posameznih vzmeti.
4. Kaj se zgodi z raztezanjem ali stiskanjem vzmeti v zaporedni povezavi, ko nanje deluje sila?
   • Odgovor: Pri vzmeteh v seriji ista sila povzroči, da se vsaka vzmet raztegne ali stisne, vendar je skupni razteg (ali stiskanje) vsota raztezkov (ali stiskanj) posameznih vzmeti.
5. Če na vzporedne vzmeti deluje sila, kako se ta sila porazdeli?
   • Odgovor: Pri vzporedno povezanih vzmeteh se sila porazdeli med vzmeti glede na njihove konstante vzmeti. Vzmeti z višjo konstanto vzmeti bodo prenesle večji del sile kot tiste z nižjo konstanto vzmeti.
6. Zakaj lahko vzmeti v seriji obravnavamo kot eno samo vzmet z daljšo dolžino?
   • Odgovor: Vzmeti v seriji imajo skupni učinek, ki je enakovreden raztezanju ene same daljše vzmeti. Raztezki ali stiskanja posameznih vzmeti se seštevajo, tako kot bi se pri daljši posamezni vzmeti.
7. Kako se potencialna energija, shranjena v zaporedno vezanih vzmetih, primerja s potencialno energijo, shranjeno v vzmetih, vezanih vzporedno, pri enaki uporabljeni sili?
   • Odgovor: Vzmeti v zaporedju shranijo več potencialne energije kot vzporedne vzmeti pri enaki uporabljeni sili, ker so podvržene večjemu skupnemu raztezanju ali stiskanju.
8. Če se ena od vzmeti v vzporedni konfiguraciji zlomi ali postane neučinkovita, kaj se zgodi s celotnim obnašanjem sistema?
   • Odgovor: Če se ena vzmet v vzporedni konfiguraciji zlomi, bodo preostale vzmeti še vedno delovale. Vendar se bo skupna konstanta vzmeti sistema zmanjšala in sistem ne bo mogel izvajati toliko povratne sile kot prej.
9. Zakaj so vzmeti zaporedno vezane bolj dovzetne za večje deformacije kot vzporedno vezane pri enaki uporabljeni sili?
   • Odgovor: Pri vzmeteh, povezanih zaporedno, na vsako vzmet deluje enaka sila, zaradi česar se vsaka raztegne ali stisne. Skupna deformacija je vsota posameznih deformacij. Vzporedno se sila porazdeli med vzmeti, zato vsaka doživi manjšo efektivno silo, kar vodi do manjših posameznih deformacij.
10. Zakaj bi se inženirji v praktičnih aplikacijah odločili za vzporedno in ne zaporedno uporabo vzmeti?

• Odgovor: Inženirji lahko izberejo vzporedno nameščene vzmeti, da dosežejo višjo skupno konstanto vzmeti, kar ima za posledico bolj tog sistem. Ta nastavitev lahko zagotovi tudi redundanco; če ena vzmet odpove, sistem še naprej deluje, čeprav z zmanjšano skupno konstanto vzmeti.