Zachovanie mechanickej energie – problémy a riešenia
1. Z vrcholu hladkej naklonenej roviny sa uvoľní blok s hmotnosťou m-kg , ako je znázornené na obrázku nižšie. Porovnanie medzi gravitačnou potenciálnou energiou a kinetickou energiou bloku v bode M je…
Riešenie
Gravitačná potenciálna energia v bode M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Kinetická energia v bode M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1: 2
2. Lyžiar sa šmýka z výšky A, ako je znázornené na obrázku nižšie. Ak je počiatočná rýchlosť = 0 a gravitačné zrýchlenie je 10 ms -2 , aká je potom rýchlosť lyžiara v bode B?
Známe:
Počiatočná rýchlosť (v o ) = 0
Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ s²
Zmena výšky = 50 metrov – 10 metrov = 40 metrov
Hľadaná: Rýchlosť lyžiara v bode B
riešenie:
Zákon zachovania mechanickej energie hovorí, že počiatočná mechanická energia = konečná mechanická energia.
Počiatočná mechanická energia = potenciálna energia v bode B (výška = 40 metrov)
Konečná mechanická energia = kinetická energia v bode B
Konečná mechanická energia = Počiatočná mechanická energia
½ mv t² = mgh
½ v t² = gh
½ v t² = (10)(50-10)
½ v t² = (10)(40)
½ v t² = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Teleso sa začne kĺzať z bodu A bez počiatočnej rýchlosti. Ak neexistuje trecia sila, aká je rýchlosť telesa v najnižšom bode?
Známe:
Hmotnosť objektu = m
Počiatočná rýchlosť (v o ) = 0
Výška (v) = 20 metra
Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ s²
Hľadaná: Konečná rýchlosť (v t )
riešenie:
Počiatočná mechanická energia (ME1 ) = Gravitačná potenciálna energia v bode A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Konečná mechanická energia (ME² ) = kinetická energia (KE) = ½ mv t²
Rýchlosť objektu v najnižšom bode (vt )?
Aplikácia zákonu zachovania mechanickej energie hovorí, že počiatočná mechanická energia = konečná mechanická energia.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t²
200 = ½ v t²
400 = v t²
vt = 20 m/ s
4. Guľa s hmotnosťou 2 kg voľne padá z bodu A, ako je znázornené na obrázku nižšie (g = 10 ms -2 ). Po dosiahnutí bodu B je kinetická energia rovnaká ako potenciálna energia. Aká je výška bodu B nad zemským povrchom?
Známe:
Hmotnosť gule (m) = 2 kg
Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 ms -2
Výška bodu A (h A ) = 90 metrov
Hľadaná výška bodu B (h B )
riešenie:
Pri príchode do bodu B je kinetická energia gule v bode B = 2-násobok gravitačnej potenciálnej energie v bode B.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v2 = 2 (2)(10) hB
v2 = 40 h B
Rýchlosť (v) gule, keď dorazí do bodu B po voľnom páde z bodu A:
v2 = 2gh = 2(10)(90–hB ) = 20(90– hB )
Dosaďte v2 do vyššie uvedenej rovnice v2 do tejto rovnice.
v2 = 40 h B
20(90–h B ) = 40 h B
1800–20 h B = 40 h B
1800 = 40 hodín B + 20 hodín B
1800 = 60 h B
v Š = 1800 / 60
h B = 30 metrov
5. Guľa s hmotnosťou 1 kg sa pustí a kĺže z bodu A do bodu C, ako je znázornené na obrázku nižšie. Ak je gravitačné zrýchlenie = 10 ms -2 , aká je kinetická energia gule, keď dorazí do bodu C?
Známe:
Hmotnosť gule (m) = 1 kg
Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ s²
Zmena výšky (h) = 0.75 m
Počiatočná potenciálna energia (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 Joulov
Počiatočná kinetická energia (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Konečná gravitačná potenciálna energia (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Hľadá sa: Kinetická energia gule v bode C
riešenie:
Počiatočná mechanická energia (ME o ) = Konečná mechanická energia (ME t )
Počiatočná gravitačná potenciálna energia (PE o ) + počiatočná kinetická energia (KE o ) = Konečná gravitačná potenciálna energia (PE t ) + konečná kinetická energia (KE t )
7.5 joulov + 0 = 0 + KE t
7.5 Joulov = KE t
Kinetická energia gule v bode C = 7.5 Joulov.
6. Z bodu A sa uvoľní guľa s hmotnosťou 2 kg, ako je znázornené na obrázku nižšie. Rovina krivky je hladká. Ak je gravitačné zrýchlenie 10 ms -2 , aká je kinetická energia gule v bode B?
Známe:
Hmotnosť gule (m) = 2 kg
Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ s²
Zmena výšky (v) = 120 cm = 1.2 metra
Počiatočná gravitačná potenciálna energia (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Joulov
Počiatočná kinetická energia (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Konečná gravitačná potenciálna energia (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Hľadá sa: Kinetická energia gule v bode B
riešenie:
Mechanická energia v bode A (počiatočná mechanická energia) = mechanická energia v bode B (konečná mechanická energia)
Počiatočná mechanická energia (ME o ) = konečná mechanická energia (ME t )
Počiatočná gravitačná potenciálna energia (PE o ) + počiatočná kinetická energia (KE o ) = konečná gravitačná potenciálna energia (PE t ) + konečná kinetická energia (KE t )
24 joulov + 0 = 0 + KE t
24 Joulov = KE t
Kinetická energia (KE) gule v bode C = 24 Joulov.
7. Objekt má fixnú mechanickú energiu, väčšiu kinetickú energiu a menšiu gravitačnú potenciálnu energiu. Objekt je…
A. V pokoji
B. pohybovať sa nahor
C. pohybovať sa smerom nadol
D. Zrýchlený smerom nahor
riešenie:
Kinetická energia sa zväčšuje, čo znamená, že rýchlosť objektu sa zväčšuje a gravitačná potenciálna energia sa zmenšuje, čo znamená, že výška objektu od povrchu pôdy sa zmenšuje. Toto sa stane, keď sa objekt pohybuje z určitej výšky nadol k zemi.
Vzťah medzi rýchlosťou a kinetickou energiou je znázornený vzorcom pre kinetickú energiu:
KE = ½ mv²
Opis vzorca: KE = kinetická energia, m = hmotnosť, v = rýchlosť
Vzťah medzi výškou a gravitačnou potenciálnou energiou je znázornený vzorcom pre gravitačnú potenciálnu energiu:
PE = mgh
Popis vzorca: PE = gravitačná potenciálna energia, m = hmotnosť, g = gravitačné zrýchlenie, h = výška
Správna odpoveď je C.
- Čo je mechanická energia?
- Odpoveď: Mechanická energia je súčtom kinetickej energie a potenciálnej energie objektu. Kinetická energia sa vzťahuje na pohyb objektu, zatiaľ čo potenciálna energia sa vzťahuje na jeho polohu alebo konfiguráciu.
- Čo hovorí princíp zachovania mechanickej energie?
- Odpoveď: Princíp hovorí, že v izolovanom systéme, v ktorom pôsobia iba konzervatívne sily, zostáva celková mechanická energia konštantná. To znamená, že súčet kinetickej a potenciálnej energie sa v priebehu času nemení.
- Ako konzervatívne a nekonzervatívne sily ovplyvňujú zákon zachovania mechanickej energie?
- Odpoveď: Konzervatívne sily, ako napríklad gravitácia, nemenia celkovú mechanickú energiu systému. Môžu premieňať potenciálnu energiu na kinetickú energiu alebo naopak, ale súčet zostáva konštantný. Nekonzervatívne sily, ako napríklad trenie, môžu rozptyľovať mechanickú energiu, zvyčajne ju transformovať na tepelnú energiu.
- Prečo sa mechanická energia nezachováva v reálnych scenároch zahŕňajúcich trenie?
- Odpoveď: Trenie je nekonzervatívna sila. Keď sa objekty pohybujú smerom k sebe, trenie premieňa časť mechanickej energie systému na tepelnú energiu, čo vedie k zníženiu celkovej mechanickej energie systému.
- Ako sa demonštruje zákon zachovania mechanickej energie v kyvadle?
- Odpoveď: Pri absencii odporu vzduchu (nekonzervatívna sila) sa pri kyvadle smerom nahor jeho kinetická energia premieňa na gravitačnú potenciálnu energiu. V najvyššom bode svojho kyvu má maximálnu potenciálnu energiu a minimálnu kinetickú energiu. Pri spätnom kyvadle smerom nadol sa táto potenciálna energia premieňa späť na kinetickú energiu. Celková mechanická energia zostáva konštantná, aj keď sa formy energie navzájom striedajú.
- Prečo sa odrážajúca lopta nakoniec zastaví aj bez pôsobenia vonkajších síl?
- Odpoveď: Keď sa lopta odrazí, nie všetka jej kinetická energia sa premení späť na potenciálnu energiu. Časť energie sa stratí, často ako zvuk alebo deformácia lopty, a to najmä v dôsledku vnútorného trenia v materiáli lopty. Ide o formy nekonzervatívnych síl, ktoré s každým odrazom znižujú mechanickú energiu lopty, až kým sa nezastaví.
- Kde je na horskej dráhe najvyššia a najnižšia mechanická energia?
- Odpoveď: Celková mechanická energia horskej dráhy zostáva konštantná, ak zanedbáme odpor vzduchu a trenie. Avšak v najvyššom bode je potenciálna energia maximálna, zatiaľ čo kinetická energia je minimálna. Pri klesaní sa potenciálna energia premieňa na kinetickú energiu, takže v najnižšom bode je kinetická energia maximálna a potenciálna energia minimálna.
- Ako zákon zachovania mechanickej energie pomáha pochopiť obežné dráhy planét?
- Odpoveď: Planéty obiehajúce okolo hviezdy, ako je Slnko, majú kinetickú energiu (vďaka svojmu pohybu) aj gravitačnú potenciálnu energiu (vďaka svojej polohe vzhľadom na Slnko). Ako sa planéta približuje k Slnku, zrýchľuje sa, čím sa jej kinetická energia zvyšuje, zatiaľ čo jej gravitačná potenciálna energia klesá a naopak. Celková mechanická energia planéty zostáva v priebehu času konštantná za predpokladu, že ostatné sily (napríklad z iných planét) sú zanedbateľné.
- Prečo satelit na stabilnej obežnej dráhe nespadne na Zem?
- Odpoveď: Hoci je satelit skutočne priťahovaný k Zemi gravitáciou, jeho kinetická energia vpred ho udržiava v pohybe na obežnej dráhe. Rovnováha tejto kinetickej energie a gravitačnej potenciálnej energie udržiava satelit na stabilnej obežnej dráhe s konštantnou mechanickou energiou.
- Ak lyžiar vyštartuje z pokoja na vrchole kopca bez trenia a potom zlyžuje dole, aká bude jeho rýchlosť dole v porovnaní s tým, keby vyštartoval čiastočne dole kopcom?
- Odpoveď: Na kopci bez trenia sa celková mechanická energia lyžiarky zachováva. Ak začne úplne zhora, bude mať na začiatku viac potenciálnej energie, ako keby začala z polovice dole. Táto potenciálna energia sa pri zostupe úplne premení na kinetickú energiu. Ak teda začne zhora, bude rýchlejšia dole, ako keby začala z polovice dole.
