අනුකලිත යෙදුම් පිළිබඳ උදාහරණ ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡාව
අනුකලනය යනු කලනයේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එයට භෞතික විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව, ජීව විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව වැනි විවිධ විද්‍යා ක්ෂේත්‍රවල බොහෝ යෙදීම් ඇත. වක්‍රයක් යටතේ ඇති ප්‍රදේශය, ඝන ද්‍රව්‍යයක පරිමාව, කාර්යය, පීඩනය සහ තවත් දේ ගණනය කිරීමට අනුකල භාවිතා වේ. මෙම ලිපියෙන්, අපි අනුකල යෙදුම් සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කර, ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් ලබා දෙන්නෙමු.
1. වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය තීරණය කිරීම
අනුකලයන්ගේ වඩාත් පොදු යෙදුම්වලින් එකක් වන්නේ දී ඇති පරතරයක් තුළ ශ්‍රිතයක වක්‍රය යටතේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමයි. \(y = x^2\) වක්‍රයෙන් මායිම් වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සහ \(x = 0\) සිට \(x = 2\) දක්වා \(x\) අක්ෂය සොයා ගැනීමට අපට අවශ්‍ය යැයි සිතමු.
ගැටළු උදාහරණය:
\(x = 0\) සිට \(x = 2\) දක්වා වක්‍රය \(y = x^2\) යටතේ ඇති ප්‍රදේශය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\(x = 0\) සිට \(x = 2\) දක්වා \(y = x^2\) වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට, අපි ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත අනුකලය ගණනය කළ යුතුය:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
පියවර 1: \(x^2\) හි අනුකලනය නිර්ණය කරන්න.
\(x^2\) හි අනුකලනය වන්නේ:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
පියවර 2: අනුකලිත සීමාව \(0\) \(2\) ට යොදන්න.
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \වම[ \frac{x^3}{3} \දකුණ]_{0}^{2} \]
පියවර 3: සීමාව අගය ගණනය කරන්න.
\[ \වම. \frac{x^3}{3} \දකුණ|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
ඉතින්, \(x = 0\) සිට \(x = 2\) දක්වා වක්‍රය \(y = x^2\) යටතේ ඇති ප්‍රදේශය \( \frac{8}{3} \) ප්‍රදේශ ඒකක වේ.
2. භ්‍රමණය වන වස්තූන්ගේ පරිමාව ගණනය කිරීම
භ්‍රමණ ඝන ද්‍රව්‍යවල පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා අනුකලයන් ද භාවිතා වේ. කලාපයක් \(x\) අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කළහොත්, තැටි ක්‍රමය හෝ වළලු ක්‍රමය භාවිතයෙන් වස්තුවේ පරිමාව සොයාගත හැකිය.
ගැටළු උදාහරණය:
\(y = \sqrt{x}\) වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපය සහ \(x = 4\) රේඛාව \(x\) අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන විට නිපදවන වස්තුවේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
භ්‍රමණ ඝනයක පරිමාව සොයා ගැනීමට, අපට තැටි ක්‍රමය භාවිතා කළ හැකිය. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ඝනයේ පරිමාව \(V\) ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකිය:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
\(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), සහ \(b = 4\) යන තැන.
පියවර 1: පරිමා අනුකලනය සාදන්න.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]
පියවර 2: අනුකලනයේ ශ්‍රිතය සරල කරන්න.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
පියවර 3: \(x\) හි අනුකලනය නිර්ණය කරන්න.
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
පියවර 4: \(0\) සීමාවන් \(4\) ට යොදන්න.
\[ V = \pi \වම[ \frac{x^2}{2} \දකුණ]_{0}^{4} \]
පියවර 5: සීමාව අගය ගණනය කරන්න.
\[ \වම. \frac{x^2}{2} \දකුණ|_{0}^{4} = \pi \වම( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \දකුණ) = \pi \වම( \frac{16}{2} \දකුණ) = 8\pi \]
ඉතින්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන වස්තුවේ පරිමාව \(8\pi\) පරිමාවේ ඒකක වේ.
3. විචල්‍ය බලයකින් කරන ලද කාර්යය ගණනය කිරීම
භෞතික විද්‍යාවේ ද අනුකලිත යෙදුම් දක්නට ලැබෙන අතර, ඉන් එකක් වන්නේ වස්තුවක් එක් ස්ථානයක සිට තවත් ස්ථානයකට ගමන් කරන විට විචල්‍ය බලයක් මගින් සිදු කරන කාර්යය ගණනය කිරීමයි.
ගැටළු උදාහරණය:
\(x = 1\) මීටරයේ සිට \(x = 3\) මීටර දක්වා චලනය වන අංශුවක් මත \(F(x) = 3x^2\) බලයක් නිව්ටන් ක්‍රියා කරයි. බලයෙන් සිදු කරන කාර්යය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\(F(x)\) බලයෙන් සිදු කරන \(W\) කාර්යය, \(a\) සිට \(b\) දක්වා විස්ථාපනය මත \(F(x)\) හි අනුකලනය ගණනය කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
\(a = 1\), \(b = 3\), සහ \(F(x) = 3x^2\) යන තැන.
පියවර 1: කාර්යයේ අනුකලනය සාදන්න.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
පියවර 2: \(3x^2\) හි අනුකලනය නිර්ණය කරන්න.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \වම( \frac{x^3}{3} \දකුණ) = x^3 + C \]
පියවර 3: \(1\) සීමාවන් \(3\) ට යොදන්න.
\[ W = \වම[ x^3 \දකුණ]_{1}^{3} \]
පියවර 4: සීමාව අගය ගණනය කරන්න.
\[ W = \වම. x^3 \දකුණ|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
ඉතින්, බලයෙන් කරන කාර්යය \(26\) ජූල් වේ.
4. ජල ස්ථිතික පීඩනය තීරණය කිරීම
භෞතික විද්‍යාවේදී, ද්‍රවයක ගිල්වන ලද පෘෂ්ඨයක් මත ජල ස්ථිතික පීඩනය ගණනය කිරීම සඳහා අනුකලයන් ද භාවිතා වේ.
ගැටළු උදාහරණය:
මීටර් 6ක් උස සහ මීටර් 4ක් පළල සිරස් තහඩුවක් ජලයේ ගිල්වා ඇති අතර එහි මුදුන ජල මතුපිටට ඉහළින් පිහිටා ඇත. තහඩුව මත ජල පීඩන බලයේ මුළු බලය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
ජලයේ \(h\) ගැඹුරකදී පීඩනය \(P = \rho gh\) මගින් දෙනු ලැබේ, මෙහි \(\rho\) යනු ජලයේ ඝනත්වය (\(1000 \text{ kg/m}^3\) පමණ) වන අතර \(g\) යනු ගුරුත්වාකර්ෂණය නිසා ඇතිවන ත්වරණය (\(9.8 \text{ m/s}^2\) පමණ) වේ.
සම්පූර්ණ පීඩන බලය සඳහා, අපි තහඩුවේ සිරස් ප්‍රදේශය මත පීඩනය ඒකාබද්ධ කළ යුතුය.
පියවර 1: පීඩන ශ්‍රිතය තීරණය කරන්න.
\[ P(y) = \rho gy \]
පියවර 2: මුළු බලය \(F\) යනු \(y = 0\) සිට \(y = 6\) දක්වා මූලික ප්‍රදේශය \(dA\) පීඩන ගුණයන්හි අනුකලනයයි.
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
පියවර 3: නියතයන් සරල කරන්න.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
පියවර 4: \(y\) හි අනුකලනය නිර්ණය කරන්න.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
පියවර 5: \(0\) සීමාවන් \(6\) ට යොදන්න.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \වම[ \frac{y^2}{2} \දකුණ]_{0}^{6} \]
පියවර 6: සීමාව අගය ගණනය කරන්න.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
ඉතින්, තහඩුව මත ජල පීඩනයේ මුළු බලය \(705600\) නිව්ටන් වේ.
නිගමනය
විවිධ යෙදීම්වල අනුකල භාවිතය සංකීර්ණ භෞතික ප්‍රමාණ ගණනය කිරීම සඳහා දැවැන්ත විශ්ලේෂණ බලයක් සපයයි. මෙම ලිපියෙන්, වක්‍රයක් යටතේ ප්‍රදේශය, විප්ලවයේ ඝන ද්‍රව්‍යයක පරිමාව, විචල්‍ය බලයක් මගින් සිදු කරන කාර්යය සහ ජල ස්ථිතික පීඩනය ගණනය කිරීම සඳහා අනුකල යොදන ආකාරය අපි සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. ඒකාබද්ධ කිරීමේ ශිල්පීය ක්‍රම පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් ඇතිව, විද්‍යාවේ සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ පැන නගින විවිධ ප්‍රායෝගික ගැටළු අපට විසඳා ගත හැකිය.
