Rumus resultan vektor

Rumus resultan vektor

Dalam fisika dan matematika, vektor adalah kuantitas yang memiliki magnitudo dan arah. Salah satu aspek penting dari vektor adalah kemampuan untuk menggabungkannya. Ketika dua atau lebih vektor digabungkan, hasilnya dikenal sebagai “resultan vektor”. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menghitung resultan vektor.

Dasar Resultan Vektor

Resultan vektor adalah hasil penjumlahan dua atau lebih vektor. Ini adalah vektor tunggal yang memiliki efek yang sama dengan efek gabungan dari vektor-vektor asli. Cara paling sederhana untuk memvisualisasikan ini adalah dengan menggambarkan vektor sebagai panah pada grafik, di mana panjang panah menunjukkan magnitudo vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.

Rumus Dasar Resultan Vektor

Untuk dua vektor yang digambarkan dalam bidang Cartesian:

1. Resultan Vektor secara Horizontal (x):
\[ R_x = A_x + B_x \]

2. Resultan Vektor secara Vertikal (y):
\[ R_y = A_y + B_y \]

Dimana \( A_x \) dan \( A_y \) adalah komponen horizontal dan vertikal dari vektor A, dan \( B_x \) dan \( B_y \) adalah komponen horizontal dan vertikal dari vektor B.

Magnitudo dari resultan vektor \( R \) adalah:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

Resultan Vektor dengan Sudut

Jika Anda memiliki dua vektor dengan magnitudo \( A \) dan \( B \) yang membentuk sudut \( \theta \) satu sama lain, resultan vektor \( R \) diberikan oleh:

\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]

Contoh Penggunaan Rumus Resultan Vektor

Misalkan Anda memiliki dua vektor: \( A = 5 \, \text{unit} \) ke arah timur dan \( B = 7 \, \text{unit} \) ke arah utara. Untuk menemukan resultan vektor:

1. Komponen horizontal \( R_x \) adalah 5 unit (dari vektor A).
2. Komponen vertikal \( R_y \) adalah 7 unit (dari vektor B).
3. Magnitudo \( R \) adalah:
\[ R = \sqrt{5^2 + 7^2} \]
\[ R = \sqrt{25 + 49} \]
\[ R = \sqrt{74} \]
\[ R ≈ 8.6 \, \text{unit} \]

BACA JUGA  Rumus zat radioaktif

Kesimpulan

Menghitung resultan vektor adalah keterampilan dasar dalam fisika dan matematika, khususnya ketika berhadapan dengan kuantitas yang memiliki arah dan magnitudo. Memahami bagaimana menggabungkan vektor dan menghitung resultannya memungkinkan kita untuk menganalisis situasi yang melibatkan berbagai jenis gerakan dan interaksi gaya.

SOAL DAN PEMBAHASAN

Soal 1:
Vektor \( A \) memiliki magnitudo 3 unit ke arah timur dan vektor \( B \) memiliki magnitudo 4 unit ke arah utara. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).

Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = 3 \) unit (timur)
\( A_y = 0 \) unit
\( B_x = 0 \) unit
\( B_y = 4 \) unit (utara)

\[ R = \sqrt{A_x^2 + B_y^2} \]
\[ R = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ R = \sqrt{9 + 16} \]
\[ R = \sqrt{25} \]
\[ R = 5 \] unit

Soal 2:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) memiliki magnitudo yang sama yaitu 5 unit dan membentuk sudut \( 60^\circ \) satu sama lain. Berapakah resultan dari kedua vektor tersebut?

Pembahasan:
Menggunakan rumus:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]

\[ R = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(60^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{25 + 25 + 50(0.5)} \]
\[ R = \sqrt{25 + 25 + 25} \]
\[ R = \sqrt{75} \]
\[ R = 8.66 \] unit

Soal 3:
Sebuah vektor \( A \) bergerak 7 unit ke arah barat dan vektor \( B \) bergerak 24 unit ke arah selatan. Berapa magnitudo dari resultan vektor \( R \)?

Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = -7 \) unit (barat)
\( A_y = 0 \) unit
\( B_x = 0 \) unit
\( B_y = -24 \) unit (selatan)

\[ R = \sqrt{A_x^2 + B_y^2} \]
\[ R = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ R = \sqrt{49 + 576} \]
\[ R = \sqrt{625} \]
\[ R = 25 \] unit

Soal 4:
Dua vektor memiliki magnitudo \( A = 6 \) unit dan \( B = 8 \) unit. Jika resultan vektor \( R = 10 \) unit, berapakah sudut \( \theta \) antara vektor \( A \) dan \( B \)?

BACA JUGA  Contoh soal frekuensi periode getaran

Pembahasan:
Dari rumus:
\[ R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta) \]

Diketahui \( R = 10 \), \( A = 6 \), dan \( B = 8 \), kita bisa menyelesaikan untuk \( \cos(\theta) \).

\[ 10^2 = 6^2 + 8^2 + 2(6)(8) \cos(\theta) \]
\[ 100 = 36 + 64 + 96 \cos(\theta) \]
\[ 0 = 96 \cos(\theta) \]

Dari sini, \( \cos(\theta) = 0 \) yang berarti \( \theta = 90^\circ \).

Soal 5:
Vektor \( A \) bergerak 9 unit ke arah utara dan vektor \( B \) bergerak 40 unit ke arah timur. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).

Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = 0 \) unit
\( A_y = 9 \) unit (utara)
\( B_x = 40 \) unit (timur)
\( B_y = 0 \) unit

\[ R = \sqrt{A_y^2 + B_x^2} \]
\[ R = \sqrt{9^2 + 40^2} \]
\[ R = \sqrt{81 + 1600} \]
\[ R = \sqrt{1681} \]
\[ R = 41 \] unit

Soal 6:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) saling tegak lurus dengan magnitudo \( A = 12 \) unit dan \( B = 16 \) unit. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?

Pembahasan:
Dikarenakan kedua vektor saling tegak lurus, maka sudut di antara mereka \( \theta \) adalah \( 90^\circ \) dan \( \cos(90^\circ) = 0 \).

\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(90^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{12^2 + 16^2} \]
\[ R = \sqrt{144 + 256} \]
\[ R = \sqrt{400} \]
\[ R = 20 \] unit

Soal 7:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) memiliki magnitudo \( A = 10 \) unit dan \( B = 20 \) unit dan membentuk sudut \( 45^\circ \) satu sama lain. Berapa magnitudo dari resultan vektor \( R \)?

Pembahasan:
Menggunakan rumus:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]

\[ R = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2(10)(20) \cos(45^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{100 + 400 + 200\sqrt{2}} \]
\[ R ≈ 36.77 \] unit

Soal 8:
Vektor \( A \) memiliki magnitudo 13 unit ke arah barat dan vektor \( B \) memiliki magnitudo 5 unit ke arah selatan. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?

BACA JUGA  Rumus gerak vertikal

Pembahasan:
Menggunakan Pythagoras:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{13^2 + 5^2} \]
\[ R = \sqrt{169 + 25} \]
\[ R = \sqrt{194} \]
\[ R ≈ 13.93 \] unit

Soal 9:
Vektor \( A \) bergerak 8 unit ke arah utara dan vektor \( B \) bergerak 6 unit ke arah timur. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).

Pembahasan:
Menggunakan Pythagoras:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{8^2 + 6^2} \]
\[ R = \sqrt{64 + 36} \]
\[ R = \sqrt{100} \]
\[ R = 10 \] unit

Soal 10:
Dua vektor memiliki magnitudo \( A = 15 \) unit dan \( B = 9 \) unit. Jika resultan vektor \( R = 18 \) unit, berapakah sudut \( \theta \) antara vektor \( A \) dan \( B \)?

Pembahasan:
Dari rumus:
\[ R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta) \]

Diketahui \( R = 18 \), \( A = 15 \), dan \( B = 9 \), kita bisa menyelesaikan untuk \( \cos(\theta) \).

\[ 18^2 = 15^2 + 9^2 + 2(15)(9) \cos(\theta) \]
\[ 324 = 225 + 81 + 270 \cos(\theta) \]
\[ 18 = 270 \cos(\theta) \]

Dari sini, \( \cos(\theta) = \frac{18}{270} = \frac{1}{15} \)

Maka, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{15}\right) \)
\[ \theta ≈ 86.41^\circ \]

Soal 11:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) saling tegak lurus dengan magnitudo \( A = 7 \) unit dan \( B = 24 \) unit. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?

Pembahasan:
Karena vektor-vektor tersebut tegak

lurus, maka:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ R = \sqrt{49 + 576} \]
\[ R = \sqrt{625} \]
\[ R = 25 \] unit

Soal 12:
Sebuah vektor \( A \) bergerak 11 unit ke arah timur dan vektor \( B \) bergerak 60 unit ke arah selatan. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).

Pembahasan:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{11^2 + 60^2} \]
\[ R = \sqrt{121 + 3600} \]
\[ R = \sqrt{3721} \]
\[ R = 61 \] unit

Print Friendly, PDF & Email