Rumus resultan vektor
Dalam fisika dan matematika, vektor adalah kuantitas yang memiliki magnitudo dan arah. Salah satu aspek penting dari vektor adalah kemampuan untuk menggabungkannya. Ketika dua atau lebih vektor digabungkan, hasilnya dikenal sebagai “resultan vektor”. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menghitung resultan vektor.
Dasar Resultan Vektor
Resultan vektor adalah hasil penjumlahan dua atau lebih vektor. Ini adalah vektor tunggal yang memiliki efek yang sama dengan efek gabungan dari vektor-vektor asli. Cara paling sederhana untuk memvisualisasikan ini adalah dengan menggambarkan vektor sebagai panah pada grafik, di mana panjang panah menunjukkan magnitudo vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.
Rumus Dasar Resultan Vektor
Untuk dua vektor yang digambarkan dalam bidang Cartesian:
1. Resultan Vektor secara Horizontal (x):
\[ R_x = A_x + B_x \]
2. Resultan Vektor secara Vertikal (y):
\[ R_y = A_y + B_y \]
Dimana \( A_x \) dan \( A_y \) adalah komponen horizontal dan vertikal dari vektor A, dan \( B_x \) dan \( B_y \) adalah komponen horizontal dan vertikal dari vektor B.
Magnitudo dari resultan vektor \( R \) adalah:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
Resultan Vektor dengan Sudut
Jika Anda memiliki dua vektor dengan magnitudo \( A \) dan \( B \) yang membentuk sudut \( \theta \) satu sama lain, resultan vektor \( R \) diberikan oleh:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]
Contoh Penggunaan Rumus Resultan Vektor
Misalkan Anda memiliki dua vektor: \( A = 5 \, \text{unit} \) ke arah timur dan \( B = 7 \, \text{unit} \) ke arah utara. Untuk menemukan resultan vektor:
1. Komponen horizontal \( R_x \) adalah 5 unit (dari vektor A).
2. Komponen vertikal \( R_y \) adalah 7 unit (dari vektor B).
3. Magnitudo \( R \) adalah:
\[ R = \sqrt{5^2 + 7^2} \]
\[ R = \sqrt{25 + 49} \]
\[ R = \sqrt{74} \]
\[ R ≈ 8.6 \, \text{unit} \]
Kesimpulan
Menghitung resultan vektor adalah keterampilan dasar dalam fisika dan matematika, khususnya ketika berhadapan dengan kuantitas yang memiliki arah dan magnitudo. Memahami bagaimana menggabungkan vektor dan menghitung resultannya memungkinkan kita untuk menganalisis situasi yang melibatkan berbagai jenis gerakan dan interaksi gaya.
SOAL DAN PEMBAHASAN
Soal 1:
Vektor \( A \) memiliki magnitudo 3 unit ke arah timur dan vektor \( B \) memiliki magnitudo 4 unit ke arah utara. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).
Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = 3 \) unit (timur)
\( A_y = 0 \) unit
\( B_x = 0 \) unit
\( B_y = 4 \) unit (utara)
\[ R = \sqrt{A_x^2 + B_y^2} \]
\[ R = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ R = \sqrt{9 + 16} \]
\[ R = \sqrt{25} \]
\[ R = 5 \] unit
Soal 2:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) memiliki magnitudo yang sama yaitu 5 unit dan membentuk sudut \( 60^\circ \) satu sama lain. Berapakah resultan dari kedua vektor tersebut?
Pembahasan:
Menggunakan rumus:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]
\[ R = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(60^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{25 + 25 + 50(0.5)} \]
\[ R = \sqrt{25 + 25 + 25} \]
\[ R = \sqrt{75} \]
\[ R = 8.66 \] unit
Soal 3:
Sebuah vektor \( A \) bergerak 7 unit ke arah barat dan vektor \( B \) bergerak 24 unit ke arah selatan. Berapa magnitudo dari resultan vektor \( R \)?
Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = -7 \) unit (barat)
\( A_y = 0 \) unit
\( B_x = 0 \) unit
\( B_y = -24 \) unit (selatan)
\[ R = \sqrt{A_x^2 + B_y^2} \]
\[ R = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ R = \sqrt{49 + 576} \]
\[ R = \sqrt{625} \]
\[ R = 25 \] unit
Soal 4:
Dua vektor memiliki magnitudo \( A = 6 \) unit dan \( B = 8 \) unit. Jika resultan vektor \( R = 10 \) unit, berapakah sudut \( \theta \) antara vektor \( A \) dan \( B \)?
Pembahasan:
Dari rumus:
\[ R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta) \]
Diketahui \( R = 10 \), \( A = 6 \), dan \( B = 8 \), kita bisa menyelesaikan untuk \( \cos(\theta) \).
\[ 10^2 = 6^2 + 8^2 + 2(6)(8) \cos(\theta) \]
\[ 100 = 36 + 64 + 96 \cos(\theta) \]
\[ 0 = 96 \cos(\theta) \]
Dari sini, \( \cos(\theta) = 0 \) yang berarti \( \theta = 90^\circ \).
Soal 5:
Vektor \( A \) bergerak 9 unit ke arah utara dan vektor \( B \) bergerak 40 unit ke arah timur. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).
Pembahasan:
Diketahui:
\( A_x = 0 \) unit
\( A_y = 9 \) unit (utara)
\( B_x = 40 \) unit (timur)
\( B_y = 0 \) unit
\[ R = \sqrt{A_y^2 + B_x^2} \]
\[ R = \sqrt{9^2 + 40^2} \]
\[ R = \sqrt{81 + 1600} \]
\[ R = \sqrt{1681} \]
\[ R = 41 \] unit
Soal 6:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) saling tegak lurus dengan magnitudo \( A = 12 \) unit dan \( B = 16 \) unit. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?
Pembahasan:
Dikarenakan kedua vektor saling tegak lurus, maka sudut di antara mereka \( \theta \) adalah \( 90^\circ \) dan \( \cos(90^\circ) = 0 \).
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(90^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{12^2 + 16^2} \]
\[ R = \sqrt{144 + 256} \]
\[ R = \sqrt{400} \]
\[ R = 20 \] unit
Soal 7:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) memiliki magnitudo \( A = 10 \) unit dan \( B = 20 \) unit dan membentuk sudut \( 45^\circ \) satu sama lain. Berapa magnitudo dari resultan vektor \( R \)?
Pembahasan:
Menggunakan rumus:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta)} \]
\[ R = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2(10)(20) \cos(45^\circ)} \]
\[ R = \sqrt{100 + 400 + 200\sqrt{2}} \]
\[ R ≈ 36.77 \] unit
Soal 8:
Vektor \( A \) memiliki magnitudo 13 unit ke arah barat dan vektor \( B \) memiliki magnitudo 5 unit ke arah selatan. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?
Pembahasan:
Menggunakan Pythagoras:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{13^2 + 5^2} \]
\[ R = \sqrt{169 + 25} \]
\[ R = \sqrt{194} \]
\[ R ≈ 13.93 \] unit
Soal 9:
Vektor \( A \) bergerak 8 unit ke arah utara dan vektor \( B \) bergerak 6 unit ke arah timur. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).
Pembahasan:
Menggunakan Pythagoras:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{8^2 + 6^2} \]
\[ R = \sqrt{64 + 36} \]
\[ R = \sqrt{100} \]
\[ R = 10 \] unit
Soal 10:
Dua vektor memiliki magnitudo \( A = 15 \) unit dan \( B = 9 \) unit. Jika resultan vektor \( R = 18 \) unit, berapakah sudut \( \theta \) antara vektor \( A \) dan \( B \)?
Pembahasan:
Dari rumus:
\[ R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(\theta) \]
Diketahui \( R = 18 \), \( A = 15 \), dan \( B = 9 \), kita bisa menyelesaikan untuk \( \cos(\theta) \).
\[ 18^2 = 15^2 + 9^2 + 2(15)(9) \cos(\theta) \]
\[ 324 = 225 + 81 + 270 \cos(\theta) \]
\[ 18 = 270 \cos(\theta) \]
Dari sini, \( \cos(\theta) = \frac{18}{270} = \frac{1}{15} \)
Maka, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{15}\right) \)
\[ \theta ≈ 86.41^\circ \]
Soal 11:
Dua vektor \( A \) dan \( B \) saling tegak lurus dengan magnitudo \( A = 7 \) unit dan \( B = 24 \) unit. Berapakah magnitudo dari resultan vektor \( R \)?
Pembahasan:
Karena vektor-vektor tersebut tegak
lurus, maka:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ R = \sqrt{49 + 576} \]
\[ R = \sqrt{625} \]
\[ R = 25 \] unit
Soal 12:
Sebuah vektor \( A \) bergerak 11 unit ke arah timur dan vektor \( B \) bergerak 60 unit ke arah selatan. Tentukan magnitudo dari resultan vektor \( R \).
Pembahasan:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
\[ R = \sqrt{11^2 + 60^2} \]
\[ R = \sqrt{121 + 3600} \]
\[ R = \sqrt{3721} \]
\[ R = 61 \] unit
