Material de înmulțire încrucișată folosind componente vectoriale unitare
Putem calcula produsul vectorial direct dacă cunoaștem componentele vectorilor. Procedura este aceeași ca și pentru produsul scalar . Mai întâi, înmulțim vectorii unitari i , j și k . Produsul vectorial dintre aceiași vectori unitari este zero.
i x i = j x j = k x k = 0
Referindu-ne la ecuația de multiplicare vectorială derivată anterior (A x B = AB păcat θ) și proprietatea anticomutativă a multiplicare vectorială (A x B = - B x A), atunci obținem:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Acum enunțăm vectorul A dan B în componentele sale, descompunând înmulțirea sa și folosind înmulțirea vectorilor săi unitari.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
deoarece i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, deci:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Dacă C = A x B atunci componentele C sunt următoarele:
Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - Ax Bz
Cz = AxBy - AyBx
