Material de înmulțire cu puncte folosind componente vectoriale unitare
Putem calcula produsul scalar direct dacă cunoaștem componentele x, y și z ale vectorilor A și B (vectorii cunoscuți).
Pentru a realiza un produs scalar în acest mod, efectuăm mai întâi un produs scalar al vectorilor unitari, după care exprimăm vectorii A și B în componentele lor, descompunem produsul și folosim produsul vectorilor unitari.
Vectorii unitari i , j și k sunt perpendiculari unul pe celălalt, ceea ce facilitează calculele. Folosind ecuația de multiplicare scalară derivată mai sus ( AB = AB cos theta ), obținem:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Acum exprimăm vectorii A și B în funcție de componentele lor, descompunem produsul lor și folosim produsul vectorilor unitari.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
deoarece i . i = j . j = k . k = 1 și i . j = i . k = j . k = 0, atunci:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Pe baza rezultatelor acestui calcul, se poate concluziona că produsul scalar sau produsul scalar a doi vectori este suma produselor componentelor lor similare.
Exemplu Întrebare 1:
Vector mare A dan B sunt respectiv 5 și 4, așa cum se arată în imaginea de mai jos. Unghiul format este de 90°oNumără-l produs scalar ambii vectori.
Pembahasan
Înainte de a calcula produsul scalar al vectorilor A și B, trebuie să cunoaștem componentele celui de-al doilea vector.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vectorul A are componente vectoriale doar pe axa x, iar vectorul B are componente vectoriale doar pe axa y. Componenta z este zero deoarece vectorii A și B se află în planul xy.
Acum calculăm produsul scalar dintre vectorii A și B folosind ecuația produsului scalar cu vectorii componente:
LA . B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Să o comparăm cu prima metodă
AB = AB cos teta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultatul este același.
Exemplu Întrebare 2:
Vector mare A dan B sunt 5 și respectiv 4, așa cum se arată în imaginea de mai jos. Calculați produs scalar ambii vectori, dacă unghiul format este de 30°o
Pembahasan
Înainte de a calcula produsul scalar al vectorilor A și B, trebuie să cunoaștem componentele celui de-al doilea vector.
Componenta z este zero deoarece vectorii A și B se află în planul xy.
Acum calculăm produsul scalar dintre vectorii A și B folosind ecuația produsului scalar cu vectorii componente:
Comparați cu prima metodă.
