27 Projectielbeweging – problemen en oplossingen
1. Een kogel wordt onder een hoek θ = 60 ° afgevuurd met een snelheid van 20 m/s. De zwaartekrachtversnelling is 10 m/s² . Wat is de tijdsduur om de maximale hoogte te bereiken?
Bekend:
De beginsnelheid van de kogel (v₀ ) = 20 m/s
Hoek (θ) = 60 ° C
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 10 ms –2
Gevraagd: Het tijdsinterval om de maximale hoogte te bereiken
oplossing:
De beginsnelheid in horizontale richting (x-as):
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
De beginsnelheid in verticale richting (y-as):
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
Het tijdsinterval om de maximale hoogte te bereiken, berekend met behulp van deze vergelijking:
v ty = v oy + gt
v ty = de eindsnelheid in verticale richting = de eindsnelheid op het hoogste punt = 0 m/s
v oy = de beginsnelheid in horizontale richting = 10√3 m/s
g = versnelling als gevolg van de zwaartekracht = 10 m/ s²
t = tijdsinterval
Het tijdsinterval:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 seconden
2. Een object wordt onder een hoek gelanceerd. De hoogte van het object is gelijk wanneer het tijdsinterval 1 seconde en 3 seconden bedraagt. Wat is het tijdsinterval waarin het object zich in de lucht bevindt?
oplossing:
Het object bevindt zich 4 seconden in de lucht.
3. Een vliegtuig beweegt horizontaal met een snelheid van 50 m/s. Op een hoogte van 2 km wordt een voorwerp uit het vliegtuig losgelaten. De zwaartekrachtversnelling is 10 m/ s². Hoe lang duurt het voordat het voorwerp de grond raakt?
Bekend:
Hoogte = 2 km = 2000 meter
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 10 m/ s²
Gevraagd: Het tijdsinterval (t)
oplossing:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 seconden
4. Een getrapte voetbal verlaat de grond onder een hoek θ = 45 ° met de horizontale met een beginsnelheid van 25 m/s. Bepaal de afstand X. De zwaartekrachtversnelling is 10 m/ s².
Bekend:
Beginsnelheid (v o ) = 25 m/s
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 10 m/ s²
Hoek (θ) = 45 °
Gezocht: X
oplossing:
De horizontale component van de beginsnelheid:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
De verticale component van de beginsnelheid:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Projectielbeweging kan worden begrepen door de horizontale en verticale componenten van de beweging afzonderlijk te analyseren. De x-beweging vindt plaats met constante snelheid en de y-beweging met constante zwaartekrachtversnelling.
Tijd in de lucht (t):
De tijd die het object in de lucht doorbrengt, wordt berekend met behulp van de vergelijking voor de opwaartse verticale beweging.
Kies de opwaartse richting als positief en de neerwaartse richting als negatief.
Bekend:
De beginsnelheid (v o ) = 12.5√2 m/s (opwaartse richting, positief)
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = -10 m/s² ( neerwaartse richting, negatief)
Hoogte (h) = 0
Gevraagd: Tijdsinterval (t)
oplossing:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 seconden
De horizontale afstand (X):
Berekend met behulp van de vergelijking voor eenparige lineaire beweging met constante snelheid.
Bekend:
Snelheid (v) = 12.5√2 m/s
Tijdsinterval (t) = 2.5√2 seconden
Gezocht: Afstand
oplossing:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 meter
5. Een object dat onder een hoek θ = 30 ° met de horizontale omhoog wordt geschoten, heeft een beginsnelheid van 20 m/s. De zwaartekrachtversnelling is 10 m/s² . Bepaal de maximale hoogte.
Bekend:
De beginsnelheid (v)o) = 20 m/sec
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 10 m/ s²
Hoek (θ) = 30 °
Gezocht : De maximale hoogte
oplossing:
Bepaal eerst de verticale component van de beginsnelheid (v oy ):
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Bereken de maximale hoogte. Kies de opwaartse richting als positief en de neerwaartse richting als negatief.
Bekend:
Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = -10 m/s² ( neerwaartse richting , negatief )
De verticale component van de beginsnelheid (v oy ) = 10 m/s ( opwaartse richting, positief )
Snelheid op de maximale hoogte (v ty ) = 0
Gevraagd: De maximale hoogte (h)
oplossing:
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 uur
100 = 20 uur
u = 100/20
h = 5 meter
De maximale hoogte is 5 meter.
6. Een voorwerp wordt onder een bepaalde hoek geworpen. De hoogte van het voorwerp is na 1 seconde en na 3 seconden gelijk. Bepaal de tijd dat het voorwerp in de lucht is.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Het resultaat
Tijd in de lucht = 4 seconden.
Het juiste antwoord is B.
7. Een vliegtuig beweegt horizontaal met een snelheid van 50 m/s. Wanneer het vliegtuig zich op een hoogte van 2 km bevindt, kan een voorwerp vrij uit het vliegtuig vallen. Bepaal het type beweging.
A. Vrije valbeweging
B. Zwevende beweging
C. Horizontale beweging
D. Projectielbeweging
oplossing:
Het object wordt uit het bewegende vliegtuig losgelaten omdat het dezelfde snelheid heeft als het vliegtuig, namelijk 50 m/s. De beweging van objecten is geen vrije val, maar een parabolische beweging. Het is vergelijkbaar met het loslaten van objecten vanuit een rijdende auto.
Het juiste antwoord is D.
8. Een bal wordt horizontaal met een snelheid van 15 m/s vanaf een 60 meter hoge klif gegooid. Hoe lang duurt het voordat de bal de grond raakt?
Oplossing: Met behulp van \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), vinden we dat de tijd \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \) is.
9. Een projectiel wordt onder een hoek van 30° boven de horizontale richting afgeschoten met een beginsnelheid van 20 m/s. Wat is de maximale hoogte die het projectiel bereikt?
Oplossing: Met behulp van \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), is de maximale hoogte \( h \approx 10.2\ \text{m} \).
10. Een steen wordt horizontaal met een snelheid van 10 m/s vanaf een 80 meter hoge toren geworpen. Bereken de horizontale afstand die de steen aflegt voordat hij de grond raakt.
Oplossing: Door de tijd op een vergelijkbare manier als in probleem 1 te gebruiken, is de horizontale afstand \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Een kanonskogel wordt met een snelheid van 40 m/s onder een hoek van 45° afgeschoten. Bereken de vluchttijd.
Oplossing: Met behulp van \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), is de vluchttijd \( t \approx 5.8\ \text{s} \).
12. Een honkbal wordt onder een hoek van 60° gegooid met een snelheid van 12 m/s. Bereken de horizontale reikwijdte.
Oplossing: Met behulp van \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), is het bereik \( R \approx 14.0\ \text{m} \).
13. Een projectiel wordt gelanceerd met een beginsnelheid van 50 m/s onder een hoek van 37° boven de horizontale. Wat is de verticale snelheidscomponent?
Oplossing: De verticale component is \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).
14. Een projectiel wordt horizontaal gelanceerd met een snelheid van 20 m/s vanaf een hoogte van 100 meter. Wat is de verticale snelheid vlak voordat het de grond raakt?
Oplossing: Met behulp van \( v_y = \sqrt{2gh} \), is de verticale snelheid \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Een steen wordt onder een hoek van 25° boven de horizontale richting geworpen met een beginsnelheid van 15 m/s. Wat zijn de horizontale en verticale componenten van de snelheid?
Oplossing: De horizontale component is \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), en de verticale component is \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).
16. Een voetbal wordt met een beginsnelheid van 30 m/s onder een hoek van 40° boven de horizontale geschopt. Wat is de horizontale snelheidscomponent?
Oplossing: De horizontale component is \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Een golfbal wordt met een beginsnelheid van 70 m/s onder een hoek van 20° geslagen. Wat is de vluchttijd?
Oplossing: Met behulp van de vluchttijdvergelijking is de tijd \( t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Een projectiel wordt vanaf de grond afgeschoten met een snelheid van 25 m/s onder een hoek van 53° boven de horizontale. Wat is de initiële verticale snelheidscomponent?
Oplossing: De verticale component is \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
19. Een honkbal wordt met een beginsnelheid van 20 m/s onder een hoek van 50° gegooid. Wat is de maximale hoogte?
Oplossing: Met behulp van de formule voor de maximale hoogte is de hoogte \( h \approx 15.3\ \text{m} \).
20. Een kogel wordt horizontaal afgevuurd met een snelheid van 200 m/s vanaf een hoogte van 10 meter. Hoe lang duurt het voordat de kogel de grond raakt?
Oplossing: Met behulp van de tijdvergelijking is de tijd \( t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Een kanonskogel wordt met een snelheid van 45 m/s onder een hoek van 30° afgevuurd. Bereken de reikwijdte.
Oplossing: Met behulp van de bereikvergelijking is het bereik \( R \approx 88.2\ \text{m} \).
22. Een basketbal wordt onder een hoek van 75° met een snelheid van 10 m/s gegooid. Bereken de horizontale reikwijdte.
Oplossing: Met behulp van de bereikvergelijking is het bereik \( R \approx 5.3\ \text{m} \).
23. Een projectiel wordt gelanceerd met een beginsnelheid van 30 m/s onder een hoek van 22° boven de horizontale. Wat is de verticale snelheid vlak voordat het de grond raakt?
Oplossing: Met behulp van de vergelijking voor de verticale snelheid is de verticale snelheid \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Een steen wordt horizontaal met een snelheid van 8 m/s vanaf een 40 meter hoge toren gegooid. Wat is de horizontale afstand die de steen aflegt?
Oplossing: Met behulp van de formule voor de horizontale afstand is de afstand \( d \approx 16\ \text{m} \).
25. Een voetbal wordt met een beginsnelheid van 12 m/s onder een hoek van 30° boven de horizontale geschopt. Wat zijn de horizontale en verticale componenten van de snelheid?
Oplossing: De horizontale component is \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), en de verticale component is \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).
26. Een golfbal wordt met een beginsnelheid van 50 m/s onder een hoek van 15° geslagen. Wat is de vluchttijd?
Oplossing: Met behulp van de vluchttijdvergelijking is de tijd \( t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Een projectiel wordt vanaf de grond afgeschoten met een snelheid van 40 m/s onder een hoek van 60° boven de horizontale. Wat is de initiële horizontale snelheidscomponent?
Oplossing: De horizontale component is \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
