30 Warmtemotoren (toepassing van de tweede wet van de thermodynamica) – problemen en oplossingen
1. De warmtetoevoer QH = 3000 Joule en de warmteafgifte QL = 1000 Joule. Wat is het rendement van de warmtemotor?
Bekend:
Warmte- input (QH ) = 3000 Joule
Warmteafgifte (Q L ) = 1000 Joule
Arbeid verricht door de motor (W) = 3000 – 1000 = 2000 Joule
Gevraagd: Rendement van de warmtemotor (e)
oplossing:
2. Een warmtemotor produceert 2000 joule mechanische arbeid en geeft 500 joule warmte af aan de omgeving. Wat is het rendement van de warmtemotor?
Bekend:
De arbeid verricht door de motor (W) = 2000 Joule
Warmteafgifte (Q L ) = 5000 Joule
Warmte-input (QH ) = 2000 + 5000 = 7000 Joule
Gezocht: Efficiëntie (e)
oplossing:
3. Een warmtemotor heeft een rendement van 30%. Als de motor 10,000 joule mechanische arbeid levert, hoeveel warmte wordt er dan als afvalwarmte afgevoerd?
Bekend:
Rendement (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
De arbeid verricht door de motor (W) = 3,000 Joule
Gevraagd : Warmteafgifte (Q L )
oplossing:
Warmteafgifte (QL ) = warmte-input (QH ) – arbeid verricht door de motor (W)
Q L = 10,000 Joule – 3,000 Joule
Q L = 7,000 Joule
4. Bepaal het rendement van een Carnot-motor die werkt tussen twee reservoirs met temperaturen van 500 K en 300 K.
Oplossing: Met behulp van de Carnot-rendementsformule, \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}}\), krijgen we \(\eta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) of \(40\%).
5. Een warmtemotor absorbeert 2000 J warmte uit een warm reservoir en stoot 1200 J uit naar een koud reservoir. Bereken de arbeid die de motor verricht.
Oplossing: Met behulp van de eerste wet van de thermodynamica, \(Q_{\text{heet}} = W + Q_{\text{koud}}\), is de verrichte arbeid \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\).
6. Bereken het rendement van een warmtemotor die 1000 J aan warmte uit een heet reservoir onttrekt en 600 J aan arbeid verricht.
Oplossing: \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{hot}}} = \frac{600}{1000} = 0.6\) of \(60\%).
7. Een warmtemotor werkt tussen 400 K en 200 K. Bepaal het maximaal mogelijke rendement.
Oplossing: \(\eta_{\text{max}} = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}} = 1 – \frac{200}{400} = 0.5\) of \(50\%).
8. Een warmtemotor voert 300 J warmte af naar het koude reservoir terwijl hij 200 J arbeid verricht. Bereken de warmte die wordt opgenomen uit het warme reservoir.
Oplossing: \(Q_{\text{heet}} = W + Q_{\text{koud}} = 200 + 300 = 500\ \text{J}\).
9. Bepaal het rendement van een Otto-cyclus met een compressieverhouding van 8.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \approx 0.564\) of \(56.4\%\), waarbij \(\gamma\) de verhouding van de warmtecapaciteit is.
10. Een warmtemotor verricht 150 J arbeid en voert 100 J af naar het koude reservoir. Bereken de hoeveelheid warmte die door het warme reservoir wordt opgenomen.
Oplossing: \(Q_{\text{heet}} = W + Q_{\text{koud}} = 150 + 100 = 250\ \text{J}\).
11. Bepaal het rendement van een dieselmotor met een compressieverhouding van 18 en een afsnijverhouding van 2.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \left( \frac{r_c – 1}{r_c} \right) \approx 0.627\) of \(62.7\%\), waarbij \(r\) de compressieverhouding is, \(r_c\) de afsnijverhouding en \(\gamma\) de warmtecapaciteitsverhouding.
12. Bereken de arbeid verricht door een warmtemotor die 400 J absorbeert en een rendement van 50% heeft.
Oplossing: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.5 \cdot 400 = 200\ \text{J}\).
13. Een warmtemotor werkt tussen 600 K en 300 K. Bereken het Carnot-rendement.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) of \(50\%).
14. Een warmtemotor absorbeert 3000 J en geeft 1800 J af aan het koude reservoir. Bereken de verrichte arbeid.
Oplossing: \(W = Q_{\text{heet}} – Q_{\text{koud}} = 3000 – 1800 = 1200\ \text{J}\).
15. Bepaal het rendement van een Stirlingmotor die werkt tussen twee reservoirs met een temperatuur van 800 K en 400 K.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) of \(50\%).
16. Een warmtemotor voert 500 J warmte af naar het koude reservoir terwijl hij 300 J arbeid verricht. Bereken de warmte die wordt opgenomen uit het warme reservoir.
Oplossing: \(Q_{\text{heet}} = W + Q_{\text{koud}} = 300 + 500 = 800\ \text{J}\).
17. Bepaal het rendement van een Ericsson-cyclus met warme en koude reservoirs bij respectievelijk 1000 K en 250 K.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) of \(75\%).
18. Een warmtemotor verricht 700 J arbeid en heeft een rendement van 70%. Bereken de warmte die aan het koude reservoir wordt afgevoerd.
Oplossing: \(Q_{\text{koud}} = \frac{W}{\eta} – W = \frac{700}{0.7} – 700 \approx 1000 – 700 = 300\ \text{J}\).
19. Bepaal het rendement van een Brayton-cyclus met drukverhoudingen van 6.5 en \(\gamma = 1.4\).
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \approx 0.433\) of \(43.3\%\), waarbij \(r_p\) de drukverhouding is.
20. Bereken de arbeid verricht door een warmtemotor die 250 J absorbeert en 100 J afvoert naar het koude reservoir.
Oplossing: \(W = Q_{\text{heet}} – Q_{\text{koud}} = 250 – 100 = 150\ \text{J}\).
21. Een warmtemotor werkt tussen 450 K en 150 K. Bereken het Carnot-rendement.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{koud}}}{T_{\text{heet}}} = 1 – \frac{150}{450} \approx 0.667\) of \(66.7\%).
22. Bepaal het rendement van een Atkinson-cyclus met een compressieverhouding van 10.
Oplossing: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \approx 0.593\) of \(59.3\%),
waarbij \(r\) de compressieverhouding is en \(\gamma\) de verhouding van de warmtecapaciteit.
20. Een warmtemotor absorbeert 180 J en heeft een rendement van 40%. Bereken de verrichte arbeid.
Oplossing: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.4 \cdot 180 = 72\ \text{J}\).
Opmerking: Voor problemen met specifieke warmtecycli (zoals Otto, Diesel, enz.) werden bepaalde waarden gebruikt, zoals de warmtecapaciteitsverhouding \(\gamma\), die typisch zijn voor bepaalde gassen (bijvoorbeeld \(\gamma = 1.4\) voor lucht). Deze waarden kunnen verschillen afhankelijk van de specifieke stoffen die in de motor worden gebruikt.
