ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ အခြေခံသဘောတရားများ

ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ အခြေခံသဘောတရားများ

စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီတွင်၊ ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် အခြေခံအကျဆုံးသဘောတရားများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ ကျပန်းဖြစ်ရပ်များနှင့် တိုင်းတာနိုင်သော သင်္ချာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုကြား ကွာဟချက်ကို ပေါင်းကူးပေးသည်။ ကျပန်းကိန်းရှင်များမှတစ်ဆင့်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် ကျပန်းစမ်းသပ်မှုတစ်ခု၏ ရလဒ်များကို—အစပိုင်းတွင် ဖြစ်ရပ်များ သို့မဟုတ် အမျိုးအစားများပါဝင်သည့်—၎င်းတို့၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများကို တွက်ချက်ခြင်း၊ ပျမ်းမျှများဖြင့် အကျဉ်းချုပ်ခြင်း၊ ၎င်းတို့၏ ပျံ့နှံ့မှုကို တိုင်းတာခြင်းနှင့် သီးခြားဖြန့်ဖြူးမှုများကို အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့ကို မော်ဒယ်လ်အဖြစ်သို့ပင် "ဘာသာပြန်ဆို" နိုင်သည်။ ဤဆောင်းပါးတွင် ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ အခြေခံသဘောတရားများ၊ ၎င်းတို့၏ အမျိုးအစားများနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေလုပ်ဆောင်ချက်၊ စုပေါင်းဖြန့်ဖြူးမှုလုပ်ဆောင်ချက်၊ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးနှင့် ကွဲလွဲမှုကဲ့သို့သော အဓိကသဘောတရားများကို ဆွေးနွေးထားသည်။

၁။ ကျပန်းကိန်းရှင်ဆိုတာ ဘာလဲ။

ရိုးရှင်းစွာပြောရလျှင် ကျပန်းကိန်းရှင်ဆိုသည်မှာ sample space မှ real number တစ်ခုသို့ outcome တစ်ခုစီကို map လုပ်ပေးသော function တစ်ခုဖြစ်သည်။ sample space ဆိုသည်မှာ ကျပန်းစမ်းသပ်မှုတစ်ခု၏ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော outcome အားလုံး၏ စုစည်းမှုဖြစ်သည်။

ဥပမာအားဖြင့်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် ခြောက်ဘက်ပါသော အံစာတုံးတစ်ခုကို လှိမ့်သည်ဆိုပါစို့။ sample space သည် {1, 2, 3, 4, 5, 6} ဖြစ်သည်။ ကျွန်ုပ်တို့သည် \(X\) ကို “အံစာတုံးပေါ်တွင် ပေါ်လာသော နံပါတ်” အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထို့နောက် \(X\) တွင် ၁ မှ ၆ အထိ တန်ဖိုးများရှိနိုင်ပြီး အံစာတုံးသည် တရားမျှတပါက ဖြစ်နိုင်ခြေ တူညီသည်။

နောက်ထပ်ဥပမာတစ်ခုကတော့ ဒင်္ဂါးနှစ်ပြားကို လှန်လိုက်ပါတယ်။ sample space က {HH, HT, TH, TT} ဖြစ်ပါတယ်။ အကယ်၍ ကျွန်ုပ်တို့သည် ကျပန်းကိန်းရှင် \(Y\) ကို “ပေါ်လာသော ဦးခေါင်းအရေအတွက် (H)” အဖြစ် သတ်မှတ်ပါက-
– HH → \(Y = 2\)
– HT → \(Y = 1\)
– TH → \(Y = 1\)
– TT → \(Y = 0\)

ဤနေရာတွင် ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် မူလရလဒ်ကို တိုက်ရိုက် “ထင်ဟပ်” ရန် မလိုအပ်ကြောင်း ကျွန်ုပ်တို့ တွေ့မြင်ရပါသည်။ ၎င်းတို့သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၏ လိုအပ်ချက်များအရ ကျပန်းရလဒ်များသို့ ဂဏန်းတန်ဖိုးများ သတ်မှတ်ရန် နည်းလမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။

၂။ ကျပန်းကိန်းရှင်အမျိုးအစားများ- discrete နှင့် continuous

ယေဘုယျအားဖြင့် ကျပန်းကိန်းရှင်များကို အဓိကအမျိုးအစားနှစ်မျိုးခွဲခြားထားသည်။

(က) သီးခြားကျပန်းကိန်းရှင်များ
discrete random variable ဆိုသည်မှာ တန်ဖိုးများကို တစ်ခုပြီးတစ်ခု ရေတွက်နိုင်သော (ရေတွက်နိုင်သော) ကျပန်း variable တစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ များသောအားဖြင့် ကိန်းပြည့်များ သို့မဟုတ် သီးခြားသတ်မှတ်ထားသော တန်ဖိုးအစုအဝေးတစ်ခု ပုံစံဖြင့် ဖြစ်သည်။

ဥပမာ-
– မိသားစုတွင် ကလေးအရေအတွက် (၀၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ …)
– ၁ မိနစ်အတွင်း ကောက်ခံရေးဂိတ်မှတစ်ဆင့် ဖြတ်သန်းသွားသော ယာဉ်အရေအတွက်
– စစ်ဆေးထားသော ထုတ်ကုန် ၁၀ ခုမှ ချို့ယွင်းနေသော ပစ္စည်းအရေအတွက်

discrete random variable များအတွက်၊ တန်ဖိုးတစ်ခုစီ၏ probability ကို probability mass function ပုံစံဖြင့် တိုက်ရိုက်ဖော်ပြနိုင်သည်။

(ခ) စဉ်ဆက်မပြတ် ကျပန်းပြောင်းလဲမှုများ
စဉ်ဆက်မပြတ်ကျပန်းကိန်းရှင်ဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ်မျဉ်းပေါ်ရှိ စဉ်ဆက်မပြတ်အပိုင်းအခြားတွင် တန်ဖိုးများကို ယူနိုင်သော (ရေတွက်၍မရသော) ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဥပမာ ၀ မှ ၁ အတွင်းရှိ တန်ဖိုးအားလုံး သို့မဟုတ် အပေါင်းကိန်းစစ်တန်ဖိုးအားလုံးကို ယူနိုင်သည်။

ဥပမာ-
- လူတစ်ယောက်ရဲ့ အရပ်အမြင့်
– ကောင်တာတွင် ဖောက်သည်စောင့်ဆိုင်းချိန်
- သတ်မှတ်ထားသော တစ်နာရီအတွင်း လေထုအပူချိန်

စဉ်ဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုအတွက်၊ ပေးထားသောအမှတ်တစ်ခုတွင်ရှိသော ဖြစ်နိုင်ခြေသည် အခြေခံအားဖြင့် သုညဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့်၊ ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖြစ်နိုင်ခြေသိပ်သည်းဆလုပ်ဆောင်ချက်ကို အသုံးပြု၍ တန်ဖိုးအပိုင်းအခြားတစ်ခု (ဥပမာ၊ ၁၀ မိနစ်မှ ၁၂ မိနစ်အကြား) တွင် တွက်ချက်သည်။

၃။ ဖြစ်နိုင်ခြေ လုပ်ဆောင်ချက်များ- PMF နှင့် PDF

နောက်ထပ်အရေးကြီးသော အယူအဆမှာ ဖြစ်နိုင်ခြေကို ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခု၏ တန်ဖိုးနှင့် မည်သို့ "ချိတ်ဆက်" ထားပုံဖြစ်သည်။

(က) ဖြစ်နိုင်ခြေ ဒြပ်ထု လုပ်ဆောင်ချက် (PMF)
discrete random variable \(X\) အတွက်၊ PMF ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသည်-
\[
p(x) = P(X = x)
\]
အောက်ပါပြဋ္ဌာန်းချက်ဖြင့်
၁။ x\ အားလုံးအတွက် \(p(x) \ge 0\) ပါ။
၂။ \(\sum_x p(x) = 1\)

ရိုးရှင်းသော ဥပမာ- တရားမျှတသော အန်စာတုံး
\[
P(X=k)=\frac{1}{6}၊ k=1,2,3,4,5,6 ဖြစ်သည်
\]

(ခ) ဖြစ်နိုင်ခြေသိပ်သည်းဆ လုပ်ဆောင်ချက် (PDF)
စဉ်ဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင် \(X\) အတွက်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် PDF \(f(x)\) ကို အသုံးပြုသောကြောင့် အပိုင်းအခြား \([a,b]\) ပေါ်ရှိ ဖြစ်နိုင်ခြေမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)\,dx
\]
အောက်ပါပြဋ္ဌာန်းချက်ဖြင့်
၁။ f(x) သည် 0 ဖြင့် ညီမျှသည်။
၂။ \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)

အလေးပေးပြောကြားလိုသည်မှာ- စဉ်ဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုအတွက် \(x\) ၏ တန်ဖိုးတိုင်းအတွက် \(P(X=x)=0\) ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေးများကို ဆွေးနွေးသည့်အခါ ဖြစ်နိုင်ခြေသည် အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ရှိသည်။

၄။ စုပေါင်းဖြန့်ဖြူးမှုလုပ်ဆောင်ချက် (CDF)

discrete သို့မဟုတ် continuous ဖြစ်စေ random variable များကို cumulative distribution function (CDF) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်-
\[
F(x) = P(X\le x)
\]

CDF တွင် အရေးကြီးသော ဂုဏ်သတ္တိများစွာ ရှိသည်-
– \(F(x)\) ရဲ့ တန်ဖိုးဟာ အမြဲတမ်း 0 နဲ့ 1 ကြားမှာ ရှိပါတယ်
– \(F(x)\) သည် လျော့မသွားပါ (မလျော့ပါ)
– \(\lim_{x\to-\infty}F(x)=0\) နှင့် \(\lim_{x\to\infty}F(x)=1\)

discrete variable များအတွက် CDF သည် (အချို့သောနေရာများတွင် မြင့်တက်နေသော) “လှေကား” ပုံသဏ္ဍာန်ရှိသည်။ စဉ်ဆက်မပြတ် variable များအတွက် CDF သည် ယေဘုယျအားဖြင့် ချောမွေ့ပြီး PDF ၏ အဓိကအစိတ်အပိုင်းဖြစ်သည်-
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
\]

၅။ ဗဟိုလမ်းကြောင်းကို တိုင်းတာခြင်း- မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး (မျှော်လင့်ချက်)

ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုကို ကျွန်ုပ်တို့သိသည်နှင့်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် ကျပန်းကိန်းရှင်ကို ၎င်း၏ “ရေရှည်ပျမ်းမျှတန်ဖိုး” ကိုကိုယ်စားပြုသည့် နံပါတ်တစ်ခုတည်းဖြင့် အကျဉ်းချုပ်လိုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းသည် မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်လင့်ချက်ဖြစ်သည်။

(က) သီးခြားပြောင်းလဲနိုင်သော မျှော်လင့်ချက်များ
\(X\) သည် discrete ဖြစ်ပါက-
\[
E[X] = \sum_x x\,p(x)
\]

(ခ) စဉ်ဆက်မပြတ်ပြောင်းလဲနေသော ကိန်းရှင်များ၏ မျှော်လင့်ချက်
\(X\) သည် စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက-
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx
\]

မျှော်လင့်ချက်သည် “အများဆုံးဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသောတန်ဖိုး” (မုဒ်) နှင့် အမြဲတမ်းတူညီခြင်းမရှိပါ၊ ထို့အပြင် အမှန်တကယ်ဖြစ်ပေါ်လာနိုင်ခြေရှိသော တန်ဖိုးလည်း အမြဲတမ်းမဟုတ်သော်လည်း ဆုံးဖြတ်ချက်ချခြင်း၊ ခန့်မှန်းခြင်းနှင့် အန္တရာယ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအတွက် အလွန်အသုံးဝင်ပါသည်။

အသုံးချမှု ဥပမာ- စီးပွားရေးတွင်၊ အခြေအနေအမျိုးမျိုးနှင့် ၎င်းတို့၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစား၍ ဗျူဟာတစ်ခု၏ မျှော်မှန်းပျမ်းမျှအမြတ်ကို တွက်ချက်ရန် မျှော်လင့်ချက်များကို အသုံးပြုနိုင်သည်။

၆။ ပျံ့နှံ့မှုတိုင်းတာမှုများ- ကွဲလွဲမှုနှင့် စံသွေဖည်မှု

ကျပန်းကိန်းရှင်နှစ်ခုသည် မျှော်လင့်ချက်တူညီသော်လည်း မသေချာမရေရာမှုအဆင့်များ မတူညီနိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ကျွန်ုပ်တို့သည် ပျံ့နှံ့မှုတိုင်းတာမှုများ၊ ဆိုလိုသည်မှာ variance နှင့် standard deviation တို့ လိုအပ်ပါသည်။

\(X\) ရဲ့ variance ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားပါတယ်-
\[
Var(X)=E[(XE[X])^2]
\]
စံသွေဖည်မှုသည် ကွဲလွဲမှု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်-
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]

မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသော လက်တွေ့ကျသောဖော်မြူလာများ-
\[
Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2
\]

ကွေကွင်းမှု ကြီးလေ၊ \(X\) တန်ဖိုးများ ပျမ်းမျှမှ ပျံ့နှံ့မှု ကြီးလေဖြစ်ပြီး၊ မသေချာမှု ပိုများလေဖြစ်သည်။

၇။ မကြာခဏအသုံးပြုသော ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများ

လက်တွေ့တွင်၊ ကျပန်းကိန်းရှင်များစွာသည် ဖြန့်ဖြူးမှုပုံစံအချို့ကို လိုက်နာကြသည်။ လူကြိုက်များသော ဖြန့်ဖြူးမှုအချို့မှာ-

– ဘာနူးလီ: ရလဒ်နှစ်ခု (အောင်မြင်မှု/ကျရှုံးမှု)၊ ဥပမာ မှန်-မှား၊ အသက်ရှင်-သေဆုံး။
– ဒွိစုံ- \(n\) ဘာနူးလီ စမ်းသပ်မှုများမှ အောင်မြင်မှုအရေအတွက်၊ ဥပမာ လူ ၂၀ မှ ဘွဲ့ရရှိသော ကျောင်းသားအရေအတွက်။
– Poisson: အချိန်/နေရာကြားကာလတစ်ခုရှိ ဖြစ်ရပ်အရေအတွက်၊ ဥပမာအားဖြင့် တစ်မိနစ်လျှင် ဝင်လာသော ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုအရေအတွက်။
– တစ်ပြေးညီ စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း- ကြားကာလရှိ တန်ဖိုးအားလုံးသည် တူညီစွာဖြစ်နိုင်ခြေရှိသည်။
– ပုံမှန် (Gaussian): အမြင့် သို့မဟုတ် တိုင်းတာမှုအမှားကဲ့သို့သော သဘာဝနှင့် လူမှုရေးဆိုင်ရာ ဖြစ်စဉ်များစွာသည် ဤဖြန့်ဖြူးမှုကို ချဉ်းကပ်ကြသည်။

မှန်ကန်သော ဖြန့်ဖြူးမှုကို ရွေးချယ်ခြင်းသည် မော်ဒယ်လ်နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုကို ပိုမိုတိကျစေရန် ကူညီပေးသည်။

၈။ ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် အဘယ်ကြောင့် အရေးကြီးသနည်း။

ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် အောက်ပါတို့အတွက် အခြေခံဖြစ်သည်-
– ကောက်ချက်စာရင်းအင်းများ- နမူနာများအပေါ်အခြေခံ၍ လူဦးရေ parameters များကို ခန့်မှန်းခြင်း
– ယူဆချက်စမ်းသပ်ခြင်း- တောင်းဆိုချက်တစ်ခုကို အချက်အလက်ဖြင့် ထောက်ခံထားခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ခြင်း
– စက်သင်ယူမှု- မသေချာမရေရာမှုနှင့် ခန့်မှန်းချက်ဖြစ်နိုင်ခြေကို မော်ဒယ်လ်လုပ်ခြင်း
– အန္တရာယ်စီမံခန့်ခွဲမှု- ဆုံးရှုံးမှုများနှင့် အစွန်းရောက်အခြေအနေများ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေကို တိုင်းတာခြင်း
– အင်ဂျင်နီယာနှင့် သိပ္ပံပညာ- အချက်ပြမှု လုပ်ဆောင်ခြင်း၊ စနစ် ယုံကြည်စိတ်ချရမှု၊ တန်းစီခြင်း သီအိုရီ

ကျပန်းကိန်းရှင်များဖြင့်၊ မသေချာမရေရာမှုအကြောင်း စနစ်တကျပြောဆိုရန် သင်္ချာဘာသာစကားတစ်ခုရှိသည်။

နိဂုံး

ကျပန်းကိန်းရှင်ဆိုသည်မှာ ကျပန်းစမ်းသပ်ချက်များ၏ရလဒ်များကို ဂဏန်းတန်ဖိုးများနှင့် ဆက်စပ်ပေးသည့် ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီတွင် အဓိကအယူအဆတစ်ခုဖြစ်သည်။ ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် သီးခြား သို့မဟုတ် စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြစ်နိုင်ပြီး တစ်ခုချင်းစီတွင် PMF သို့မဟုတ် PDF မှတစ်ဆင့် ဖြစ်နိုင်ခြေများကို ကိုယ်စားပြုသည့် မတူညီသောနည်းလမ်းရှိသည်။ ထို့အပြင်၊ CDF သည် ဖြစ်နိုင်ခြေများစုပုံခြင်းကိုကြည့်ရှုရန် ဘုံနည်းလမ်းတစ်ခုကို ပေးပါသည်။ ဖြန့်ဖြူးမှုကို အကျဉ်းချုပ်ရန်အတွက်၊ မျှော်လင့်ချက်ကို ဗဟိုလမ်းကြောင်း၏ တိုင်းတာမှုအဖြစ် အသုံးပြုပြီး variance/standard deviation ကို ပျံ့နှံ့မှု၏ တိုင်းတာမှုအဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ဤအခြေခံသဘောတရားများကို နားလည်ခြင်းသည် ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများ၊ စာရင်းအင်းခန့်မှန်းချက်၊ regression နှင့် အန္တရာယ်မော်ဒယ်လ်နှင့် ခေတ်သစ်ဒေတာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုကဲ့သို့သော ပိုမိုအဆင့်မြင့်သောအကြောင်းအရာများကို လေ့လာရန် အထောက်အကူပြုလိမ့်မည်။

သင်လိုချင်ရင် ကျပန်းကိန်းရှင်တွေရဲ့ သဘောတရားကို နားလည်ရလွယ်ကူအောင် ဥပမာမေးခွန်းတွေနဲ့ သူတို့ရဲ့ဆွေးနွေးချက်တွေ (သီးခြားနဲ့ စဉ်ဆက်မပြတ်) ကိုလည်း ထည့်ပေးနိုင်ပါတယ်။