integral
အင်တီဂရယ်များသည် ကဲကုလပ်စ်တွင် အခြေခံသဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး derivatives များနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေပါသည်။ derivatives များသည် သတ်မှတ်ထားသောအမှတ်တစ်ခုရှိ မျဉ်းကွေး၏ ቁልቁልቁል သို့မဟုတ် ቁል ...၊ သတ်မှတ်ထားသောအပိုင်းအခြားတစ်ခုအတွင်း မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာတစ်ခုလုံးကို လွှမ်းခြုံထားသည်။ အင်တီဂရယ်များသည် သင်္ချာ၊ ရူပဗေဒ၊ အင်ဂျင်နီယာနှင့် အခြားနယ်ပယ်များစွာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သောကိရိယာများဖြစ်သည်။ ဤဆောင်းပါးသည် အင်တီဂရယ်များ၏ သဘောတရားကို ၎င်းတို့၏သမိုင်း၊ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်၊ အင်တီဂရယ်အမျိုးအစားများ၊ အသုံးချမှုများနှင့် အင်တီဂရယ်ဥပမာပြဿနာအချို့အပါအဝင် အသေးစိတ်ဆွေးနွေးပါမည်။
ပေါင်းစပ်သမိုင်း
အင်တီဂရယ်များကို ရှေးဂရိသိပ္ပံပညာရှင်များက Eudoxus မှ တီထွင်ခဲ့သော ပင်ပန်းနွမ်းနယ်မှုနည်းလမ်းမှတစ်ဆင့် ပထမဆုံးမိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် Archimedes မှ လူသိများလာခဲ့သည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်အင်တီဂရယ်များ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုကို Isaac Newton နှင့် Gottfried Wilhelm Leibniz တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များဖြင့် ၁၇ ရာစုအထိ ပြန်လည်ခြေရာခံနိုင်သည်။ နယူတန်နှင့် Leibniz တို့သည် သီးခြားစီလုပ်ဆောင်နေသော်လည်း Fundamental Theorem of Calculus နှင့် ဆက်စပ်နေသော သဘောတရားနှစ်ခုဖြစ်သည့် အင်တီဂရယ်များနှင့် derivatives များပါဝင်သော ကဲကုလပ်စ်ကို တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ဤသီအိုရမ်က ပေါင်းစည်းခြင်းနှင့် ကွဲပြားခြင်းတို့သည် ပြောင်းပြန်လုပ်ဆောင်ချက်များဖြစ်သည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။
နယူတန်သည် ရူပဗေဒနယ်ပယ်တွင် အင်တီဂရယ်များကို အသုံးပြု၍ အချိန်နှင့်အမျှ အလျင်ပြောင်းလဲမှုကို ကိုယ်စားပြုသည့် မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာကို တွက်ချက်ခဲ့ပြီး၊ ၎င်းသည် ဂန္ထဝင်မက္ကင်းနစ်အတွက် အရေးကြီးသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်မူ လိုက်ဘနစ်သည် ယနေ့ခေတ်တွင် ကျွန်ုပ်တို့အသုံးပြုနေသော အင်တီဂရယ်သင်္ကေတ ∫ ကို တီထွင်ခဲ့ပြီး၊ ၎င်းသည် summa (လက်တင်ဘာသာဖြင့် “sum” ၏ အတိုကောက်) မှ ဆင်းသက်လာသည်။
အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်
လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ အင်တီဂရယ်ကို “ဆန့်ကျင်-ဒရီဗေတစ်” အဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တရားဝင်အားဖြင့်၊ မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသော အင်တီဂရယ်အမျိုးအစား နှစ်မျိုးရှိသည်- အကန့်အသတ်မရှိ အင်တီဂရယ် နှင့် အဆုံးမရှိ အင်တီဂရယ်။
အကန့်အသတ်မရှိ အင်တီဂရယ်
function f(x) ၏ အကန့်အသတ်မရှိ အင်တီဂရယ်သည် F(x) ၏ derivative ဖြစ်သော f(x) ဖြစ်သော function F(x) ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သင်္ကေတကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားထားသည်။
∫ f(x) dx = F(x) + C
ဤတွင် C သည် ကိန်းသေတစ်ခု၏ derivative သည် သုညဖြစ်သောကြောင့် လိုအပ်သော integration ၏ constant တစ်ခုဖြစ်သည်။ indefinite integral ၏ ရိုးရှင်းသော ဥပမာတစ်ခုမှာ-
∫ 2x dx = x² + C
တိကျသော အင်တီဂရယ်
a မှ b အထိ x = a မှ x = b အထိ မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာကို function f(x) ၏ definite integral ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားထားသည်။
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
ဤတွင် F(x) သည် f(x) ၏ antiderivative ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်-
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
အင်တီဂရယ်အမျိုးအစားများ
အထက်တွင်ဆွေးနွေးခဲ့သော အခြေခံအင်တီဂရယ်များအပြင်၊ သင်္ချာနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် အသုံးပြုသော အခြားအင်တီဂရယ်အမျိုးအစား အမျိုးမျိုးရှိပါသည်။ ၎င်းတို့ထဲမှ အချို့မှာ-
နှစ်ထပ်ပေါင်းစပ်
double integral တွင် variable နှစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုထက်ပိုသော variable များပေါ်တွင် integration ပါဝင်သည်။ ၎င်းကို multidimensional calculus တွင် မျက်နှာပြင်အောက် volume များ သို့မဟုတ် variable နှစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုထက်ပိုသော function များအတွက် ဂဏန်းတန်ဖိုးများကို တွက်ချက်ရန် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာများတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်-
∫∫_R f(x,y) dA
လီဘက်စ်ဂူး အင်တီဂရယ်
Lebesgue integral သည် အလွန်မမှန်သော function များကို ကိုင်တွယ်ရန်အသုံးပြုသည့် Riemann integral ကို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤ integral သည် real analysis နှင့် probability theory တွင် အထူးအရေးကြီးပါသည်။
လိုင်းပေါင်းစပ်
မျဉ်းအင်တီဂရယ်သည် ပေးထားသော မျက်နှာပြင် သို့မဟုတ် အာကာသအတွင်းရှိ မျဉ်းကွေး သို့မဟုတ် လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ပေးသည်။ ၎င်းသည် ရူပဗေဒနှင့် အင်ဂျင်နီယာပညာတွင် ပေးထားသောလမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်တွင် အားတစ်ခုမှ လုပ်ဆောင်သောအလုပ်ကို တွက်ချက်ရာတွင် အလွန်အသုံးဝင်သည်။
∫_C F · dr
မျက်နှာပြင် ပေါင်းစပ်မှု
မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်သည် သုံးဖက်မြင် အာကာသရှိ မျက်နှာပြင်များတွင် အသုံးချရန် နှစ်ထပ် အင်တီဂရယ်ကို ပြုပြင်ပေးသည်။ ၎င်းကို အီလက်ထရိုဒိုင်းနမစ်နှင့် အရည်မက္ကင်းနစ်တို့တွင် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။
∫∫_S f(x,y,z) dS
ပေါင်းစပ်အသုံးချမှု
အင်တီဂရယ်များသည် သိပ္ပံပညာ၏ နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ကျယ်ပြန့်သော အသုံးချမှုများရှိသည်။ အရေးကြီးဆုံး အသုံးချမှုအချို့တွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်-
ရူပဗေဒ
ရူပဗေဒတွင်၊ အင်တီဂရယ်များကို အလုပ်၊ စွမ်းအင်နှင့် အခြားရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏအမျိုးမျိုးကို တွက်ချက်ရန် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ အင်တီဂရယ်များကို အမှုန်တစ်ခု၏ရွေ့လျားမှုတွင် အားတစ်ခုမှလုပ်ဆောင်သောအလုပ်ကို တွက်ချက်ရန်အသုံးပြုသည်။
W = ∫ F(x) dx
ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများတွင် ဒြပ်ထု၊ ဒြပ်ထုဗဟို၊ အရှိန်အဟုန်နှင့် ဒြပ်ထုဖြန့်ဖြူးမှုကို ရှာဖွေရာတွင်လည်း အင်တီဂရယ်များသည် အရေးကြီးပါသည်။
စာရင်းအင်းများ
စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီတွင်၊ integrals များကို ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုအမျိုးမျိုး၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများနှင့် မျှော်လင့်ချက်များကို တွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ဥပမာတစ်ခုမှာ စဉ်ဆက်မပြတ်ကျပန်းကိန်းရှင်၏ စုပေါင်းဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
စီးပွားရေးကို
စီးပွားရေးတွင်၊ စုစုပေါင်းအမြတ်အစွန်း၊ ကုန်ကျစရိတ်နှင့် စားသုံးသူ/ထုတ်လုပ်သူပိုလျှံမှုကို တွက်ချက်ရန် အင်တီဂရယ်များကို အသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ အစွန်းကုန်ကျစရိတ်နှင့်ဆက်စပ်၍ စုစုပေါင်းကုန်ကျစရိတ်များကို တွက်ချက်ရန်-
စုစုပေါင်းကုန်ကျစရိတ် = ∫ MC(q) dq
စက်မှုလက်မှု
အင်ဂျင်နီယာပညာတွင်၊ အင်တီဂရယ်များကို ဖိစီးမှုခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ ပုံပျက်ခြင်းနှင့် အပူလွှဲပြောင်းခြင်းတို့တွင် မကြာခဏအသုံးပြုကြသည်။ ထိန်းချုပ်မှုအင်ဂျင်နီယာသည် PID (Proportional-Integral-Derivative) ထိန်းချုပ်ကိရိယာများရှိ အင်တီဂရယ်ထိန်းချုပ်မှုစနစ်များအတွက် အင်တီဂရယ်များကိုလည်း အသုံးပြုသည်။
ပေါင်းစပ်ပြဿနာဥပမာများ
အဓိကပြဿနာအချို့နှင့် ၎င်းတို့၏ဖြေရှင်းနည်းများ၏ ဥပမာအချို့ကို ဤနေရာတွင်ဖော်ပြထားပါသည်။
ဥပမာ ၁: အကန့်အသတ်မရှိ အင်တီဂရယ်
f(x) = 3x² ၏ အကန့်အသတ်မရှိ အင်တီဂရယ်ကို ရှာပါ:
∫ 3x² dx
ဖြေရှင်းချက်-
ဤအင်တီဂရယ်ကို အခြေခံအင်တီဂရယ်စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ ဖြေရှင်းနိုင်ပါသည်။ ကျွန်ုပ်တို့သည် အဆတိုးကိန်းထဲသို့ တစ်ခုကိုထည့်ပြီးနောက် အသစ်သောအဆတိုးကိန်းဖြင့် စားပါသည်။
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
ဥပမာ ၂: တိကျသော အင်တီဂရယ်
၁ မှ ၄ အထိ မျဉ်းကွေး f(x) = 2x အောက်ရှိ ဧရိယာကို ရှာပါ။
∫[၁,၄] ၂x dx
ဖြေရှင်းချက်-
ပထမဦးစွာ x² ဖြစ်သော 2x ၏ antiderivative ကိုရှာပါ။ ထို့နောက် အောက်နှင့် အပေါ်ကန့်သတ်ချက်များကို အသုံးပြုပါသည်။
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
နိဂုံး
အင်တီဂရယ်များသည် ကဲကုလပ်စ်တွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အယူအဆများဖြစ်ပြီး မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာနှင့် ၎င်း၏ အသုံးချမှုများစွာကို ဖမ်းယူထားသည်။ ရှေးဂရိနိုင်ငံရှိ ၎င်းတို့၏သမိုင်းကြောင်းမှစ၍ နယူတန်နှင့် လိုက်ဘနစ်တို့၏ သိသာထင်ရှားသော ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုများအထိ၊ သိပ္ပံနှင့် အင်ဂျင်နီယာပညာတွင် ၎င်းတို့၏ အမျိုးအစားအမျိုးမျိုးနှင့် အသုံးချမှုများအထိ၊ အင်တီဂရယ်များသည် ခေတ်သစ်သင်္ချာဘောင်တွင် မရှိမဖြစ်အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ အင်တီဂရယ်များကို နားလည်ခြင်းသည် သင်္ချာပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်သာမက နေ့စဉ်ဘဝနှင့် ပရော်ဖက်ရှင်နယ်ကမ္ဘာတွင် ၎င်းတို့၏ အသုံးချမှုများစွာကို ထိုးထွင်းသိမြင်စေပါသည်။
