ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးမှုမေးခွန်း၏ ဥပမာ

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးမှုမေးခွန်း ဥပမာ

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု သို့မဟုတ် Gaussian ဖြန့်ဖြူးမှုဟုလည်း လူသိများသော သည် စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေတွင် အများဆုံးအသုံးပြုသော စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှုကို ၎င်း၏ အကျိုးပြုသော သင်္ချာဂုဏ်သတ္တိများဖြစ်သည့် ဆ៊ီမေထရီနှင့် ပျမ်းမျှ (µ) နှင့် စံသွေဖည်မှု (σ) ဖြင့် ကန့်သတ်ချက်သတ်မှတ်ခြင်းတွင် ၎င်း၏ထူးခြားမှုကြောင့် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်အမျိုးမျိုးတွင် အခြေခံယူဆချက်အဖြစ် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤဆောင်းပါးသည် ဤသဘောတရားကို ပိုမိုနက်ရှိုင်းစွာ နားလည်စေရန်အတွက် ဥပမာများကို ဆွေးနွေးပြီး ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု၏ မျှော်လင့်ထားသောတန်ဖိုးကို ဆွေးနွေးပါမည်။

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုကို နားလည်ခြင်း

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုကို ဆ៊ီမက်ထရစ် ခေါင်းလောင်းကွေးဖြင့် ပုံဖော်ထားပြီး တန်ဖိုးအများစုသည် အလယ်တန်ဖိုး သို့မဟုတ် ပျမ်းမျှတန်ဖိုးအနီးတွင် စုစည်းထားသည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှုအတွင်း၊ ပျမ်းမျှ (µ) နှင့် စံသွေဖည်မှု (σ) တို့သည် အချက်အလက်တွင် ပျံ့နှံ့မှု၏တည်နေရာနှင့် ပမာဏကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည့် အရေးကြီးသော ကန့်သတ်ချက်နှစ်ခုဖြစ်သည်။

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဖြစ်နိုင်ခြေသိပ်သည်းဆ လုပ်ဆောင်ချက် (PDF) မှာ-

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]

ဘယ်နေရာ:
– \( \mu \) သည် ပျမ်းမျှ သို့မဟုတ် ပျမ်းမျှဖြစ်သည်။
– \( \sigma \) သည် စံသွေဖည်မှုဖြစ်သည်
-\( x\) သည် ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုရှိသော ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးသည် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ပျမ်းမျှနှင့် ညီမျှသည်။ အကယ်၍ \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) ဖြစ်ပါက မျှော်မှန်းတန်ဖိုး \( E(X) \) သည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-

\[ E(X) = \mu \]

ကျွန်ုပ်တို့၏ နားလည်မှုကို ခိုင်မာစေရန်အတွက် ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် မျှော်မှန်းထားသော တန်ဖိုးများနှင့် ပတ်သက်သည့် ပြဿနာအချို့ ဥပမာများဖြင့် ဆက်လက်လေ့လာကြပါစို့။

နမူနာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်

ဥပမာ မေးခွန်း ၁:

\( X \) သည် \( \mu = 50 \) နှင့် \( \sigma = 10 \) ရှိသော ပုံမှန်ဖြန့်ဝေထားသော ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ \( X \) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို တွက်ချက်ပါ။

ဆွေးနွေးချက်:

အစောပိုင်းက ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း၊ ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင်၊ မျှော်လင့်ထားသောတန်ဖိုး \(E(X) \) သည် \(\mu \) နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့ကြောင့်၊

\[ E(X) = \mu = 50 \]

ဥပမာ မေးခွန်း ၁:

ပေးထားသော ကျပန်းကိန်းရှင် \(Y\) ကို \(\mu = 120\) နှင့် \(\sigma = 15\) တို့ဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေထားသည်။ \(Y\) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို ရှာပါ။

ဆွေးနွေးချက်:

ပထမဥပမာနှင့်ဆင်တူစွာ၊ \(Y\) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးသည် ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အလယ်တန်ဖိုး သို့မဟုတ် ပျမ်းမျှတန်ဖိုးဖြစ်သည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ-

\[ E(Y) = \mu = 120 \]

ဥပမာ မေးခွန်း ၁:

ကျပန်းကိန်းရှင် \(Z\) သည် \(\mu = 0\) နှင့် \(\sigma = 1\) (စံပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု) တို့ဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုနောက်သို့ လိုက်ပါက \(Z\) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကား အဘယ်နည်း။

ဆွေးနွေးချက်:

စံပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ပျမ်းမျှ \( \mu = 0 \) ရှိပြီး၊ မျှော်လင့်ထားသောတန်ဖိုး \( E(Z) \) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-

\[ E(Z) = \mu = 0 \]

ဥပမာ မေးခွန်း ၁:

\(W\) သည် ပျမ်းမျှ \(\mu = 75\) နှင့် စံသွေဖည်မှု \(\sigma = 20\) ရှိသော ပုံမှန်ဖြန့်ဝေထားသော ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ ကျွန်ုပ်တို့သည် ကျပန်းကိန်းရှင်အသစ် \(V = 2W + 3\) ကို သတ်မှတ်ပါက \(V\) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကား အဘယ်နည်း။

ဆွေးနွေးချက်:

\(V\) ရဲ့ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို ရှာဖို့အတွက် မျှော်မှန်းတန်ဖိုးရဲ့ linearity property ကို သုံးဖို့ လိုပါတယ်။ \(V = 2W + 3\) လို့ ပေးထားရင်-

\[ E(V) = E(2W + 3) \]

မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး၏ linearity property ပေါ်အခြေခံ၍ ကျွန်ုပ်တို့သည် constant ကို random variable မှ ခွဲခြားနိုင်သည်-

\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]

ကိန်းသေတစ်ခု၏ မျှော်လင့်ထားသောတန်ဖိုးသည် ကိန်းသေကိုယ်တိုင်ဖြစ်ကြောင်း သိရှိခြင်း-

\[ E(3) = 3 \]

ပြီးတော့ \(W\) ရဲ့ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဟာ ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု \(W\) ရဲ့ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်ပါတယ်။

\[ E(W) = \mu = 75 \]

ဒါကြောင့်

\[ E(V) = ၂ x ၇၅ + ၃ \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]

ဥပမာ မေးခွန်း ၁:

ကျပန်းကိန်းရှင် \(Q\) သည် ပျမ်းမျှ \(\mu = 40\) နှင့် စံသွေဖည်မှု \(\sigma = 5\) တို့ဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုကို လိုက်နာသည်။ \[U = Q/2\] ဖြစ်ပါက \(Q\) ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကား အဘယ်နည်း။

ဆွေးနွေးချက်:

ကျွန်ုပ်တို့သည် ဥပမာ ၄ တွင်ကဲ့သို့ပင် တူညီသော နိယာမကို အသုံးပြုပါသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ မျှော်မှန်းထားသော တန်ဖိုး၏ linearity property ဖြစ်သည်။ \( U = Q/2 \) ဟု ပေးထားလျှင်၊ ထို့နောက်-

\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]

မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး၏ linearity ဂုဏ်သတ္တိအပေါ်အခြေခံ၍-

\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]

\(Q\) ရဲ့ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဟာ ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှု \(Q\) ရဲ့ ပျမ်းမျှတန်ဖိုးဖြစ်တယ်ဆိုတာ ကျွန်တော်တို့ သိပါတယ်-

\[ E(Q) = \mu = 40 \]

ဒါကြောင့်

\[ E(U) = \frac{1}{2} \xeebtsam ၄၀ \]
\[ E(U) = 20 \]

နိဂုံး

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင်၊ ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးသည် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ပျမ်းမျှ (µ) နှင့် အမြဲတမ်း ညီမျှသည်။ အထက်ဖော်ပြပါ ဥပမာပြဿနာများသည် linearity property ကို အသုံးပြု၍ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို တွက်ချက်ရန် အခြေအနေအမျိုးမျိုးကို သရုပ်ပြသည်။ ဤအခြေခံသဘောတရားကို နားလည်ခြင်းသည် စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေတွင် ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုပြဿနာများကို ကိုင်တွယ်ရန် ပိုမိုလွယ်ကူစေသည်။

ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုသည် စာရင်းအင်းပညာတွင် အလွန်အရေးကြီးပါသည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းကို ယူဆချက်စမ်းသပ်မှု၊ ကန့်သတ်ချက်ခန့်မှန်းချက်နှင့် အခြားစာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချမှုအမျိုးမျိုးအပါအဝင် လက်တွေ့အသုံးချမှုအမျိုးမျိုးတွင် အသုံးပြုကြသောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှု၏ မျှော်လင့်ထားသောတန်ဖိုးကို ကောင်းစွာနားလည်ခြင်းသည် ဒေတာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင် အရေးကြီးသော ပထမခြေလှမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။

ဒီဆောင်းပါးက သက်ဆိုင်ရာ ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးမှုများနှင့်အတူ ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုးအကြောင်း ရှင်းလင်းပြတ်သားပြီး အသုံးဝင်သောရှင်းလင်းချက်တစ်ခု ပေးစွမ်းနိုင်လိမ့်မည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။